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Convexité

Posté par
Crei
04-12-23 à 21:12

Bonsoir, besoin d'aide
f:R\rightarrow R une fonction.
Montrer que:(x,y)\in D_f\times D_f \, et \, pour \,tout\ \beta \geq 0\, avec\ y+\beta \left(y-x \right)\in D_f ,
f\left(y+\beta \left(y-x \right) \right)\geq f(y)+\beta \left(f(y)-f(x) \right)\Leftrightarrow f\, convexe

Posté par
Zormuche
re : Convexité 04-12-23 à 23:22

Bonsoir

Je suis prêt à parier que c'est mal formulé

Tel que tu as écrit, il faudrait montrer que pour (x,y) et beta fixés, alors une simple inégalité est équivalente à la convexité

Tu veux plutôt dire :

Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes
(i) \forall (x,y)\in D_f^2, \quad \forall \beta\ge 0 ~/~ y+\beta(y-x)\in D_f, \qquad f(y+\beta(y-x)) \ge f(y) + \beta(f(y)-f(x))
(ii) f est convexe

N'est-ce pas ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Convexité 05-12-23 à 00:22

Bonsoir Crei

La formulation de Zormuche (que je salue !) est correcte.

\boxed{(ii) \Longrightarrow(i)} Supposons f convexe et soit (x,y)\in D_f\times D_f et \beta\geqslant0 tels que y+\beta(y-x)\in D_f,

en notant z=y+\beta(y-x), on a y=\frac{1}{1+\beta}z+\frac{\beta}{1+\beta}x ...

Posté par
Zormuche
re : Convexité 06-12-23 à 00:34

Pour ajouter un point d'intuition :

La définition de la convexité et la formule proposée dans l'énoncé se ressemblent énormément : on compare une combinaison linéaire d'images à une image de combinaisons linéaires

La seule différence c'est qui est qui

Dans la définition classique, on prend deux points quelconques et on en sélectionne un troisième au milieu

Ici, on a deux points x et y, mais le troisième (y+b(y-x)) n'est pas situé au milieu. C'est y qui est au milieu de x et du troisième point
Il suffit de comprendre comment les rôles s'inversent et la démonstration est terminée

("au milieu" n'est pas à comprendre en terme de moyenne mais simplement d'intervalle)

Posté par
Crei
re : Convexité 06-12-23 à 08:46

elhor_abdelali @ 05-12-2023 à 00:22

Bonsoir Crei

La formulation de Zormuche (que je salue !) est correcte.

\boxed{(ii) \Longrightarrow(i)} Supposons f convexe et soit (x,y)\in D_f\times D_f et \beta\geqslant0 tels que y+\beta(y-x)\in D_f,

en notant z=y+\beta(y-x), on a y=\frac{1}{1+\beta}z+\frac{\beta}{1+\beta}x ...  

Bonjour
\boxed{(i) \Longrightarrow(ii)}
l'égalité est vraie alors :
f\left(y+\beta \left(y-x \right) \right)\geq \left(1+\beta \right)f\left(y \right)-\beta f\left(x \right)
\frac{1}{\left(1+\beta \right)}.f\left(y+\beta \left(y-x \right) \right)\geq f\left(y \right)-\frac{\beta }{\left(1+\beta \right)}.f\left(x \right)
\frac{1}{\left(1+\beta \right)}.f\left(y+\beta \left(y-x \right) \right)+\frac{\beta }{\left(1+\beta \right)}.f\left(x \right)\geq f\left(y \right)
Comme \beta est quelconque , on pour tout  t dans [0,1] et pour tout x ,z dans D_f on a : tf(z)+(1-t)f(x)f(tz+(1-t)x).  Est ce que je peux conclure que f convexe.

Posté par
Zormuche
re : Convexité 06-12-23 à 21:42

Par curiosité tu n'aurais pas inversé le signe dans ton message de départ ?



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