Bonsoir
Je suis prêt à parier que c'est mal formulé
Tel que tu as écrit, il faudrait montrer que pour (x,y) et beta fixés, alors une simple inégalité est équivalente à la convexité
Tu veux plutôt dire :
Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes
(i)
(ii) est convexe
N'est-ce pas ?
Bonsoir Crei
La formulation de Zormuche (que je salue !) est correcte.
Supposons convexe et soit et tels que ,
en notant , on a ...
Pour ajouter un point d'intuition :
La définition de la convexité et la formule proposée dans l'énoncé se ressemblent énormément : on compare une combinaison linéaire d'images à une image de combinaisons linéaires
La seule différence c'est qui est qui
Dans la définition classique, on prend deux points quelconques et on en sélectionne un troisième au milieu
Ici, on a deux points x et y, mais le troisième (y+b(y-x)) n'est pas situé au milieu. C'est y qui est au milieu de x et du troisième point
Il suffit de comprendre comment les rôles s'inversent et la démonstration est terminée
("au milieu" n'est pas à comprendre en terme de moyenne mais simplement d'intervalle)
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