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Niveau maths spé
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Convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables réelle

Posté par
Obelix
17-11-10 à 18:15

Bonjour,

qq 1 pourrait-il me préciser :

1 - la définition de la convexité d'une fonction numérique de
plusieurs variables réelles
2 - l'intérêt de mettre en évidence cette propriété
3 - et le rôle que joue l'application déterminant la dedans

un grand merci par avance

Posté par
Arkhnor
re : Convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables r 17-11-10 à 18:21

Bonjour.

Si la fonction f est définie sur \mathbb{R}^n tout entier (ou sur une partie convexe), elle est dite convexe si pour tout couple de vecteurs X et Y et tout 0 \le \lambda \le 1, on a f(\lambda X + (1-\lambda) Y) \le \lambda f(X) + (1-\lambda) f(Y).

Il s'agit essentiellement de la même définition qu'à une variable.

L'intérêt des fonctions convexes est multiple. Une des motivations provient des problèmes en optimisation, puisqu'on dispose de nombreux résultats et théorèmes sur les minimum et maximum d'une fonction convexe.

Pour le déterminant, précise un peu le contexte, car a priori, je ne vois pas de lien direct.

Posté par
Obelix
re : Convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables r 17-11-10 à 18:31

Voici ce que je lis exactement :

« Exercices faisant intervenir des déterminants », exercices montrant diverses utilisations de cette notion (à titre indicatif : résolution des systèmes de Cramer, calcul des valeurs propres d'un endomorphisme à l'aide du polynôme caractéristique, déterminants de Hankel, jacobien et caractérisation des difféomorphismes, caractérisation de la positivité des matrices symétriques réelles et application à la convexité d'une fonction numérique de plusieurs variables réelles par sa matrice Hessienne, ...)

je pense que le det intervient pour le calcul de la Herssienne mais je ne sais pas comment ?
(j'imagine une sorte de point d'inflexion ?? ) en fait je n'ai pas de cours sur le sujet ...

Posté par
Obelix
re : Convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables r 17-11-10 à 19:02

rebonjour,

il me semble que l'on veut simplement dire par la que la fonction présente un maximum local ??

qq1 peut t il confirmer ?
merci

Posté par
Arkhnor
re : Convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables r 17-11-10 à 19:41

Une fonction de classe C^2 est convexe si et seulement si sa matrice hessienne est positive. (c'est l'analogue du critère en dimension 1, qui dit qu'une fonction dérivables deux fois est convexe ssi sa dérivée seconde est positive)

Si tu n'as pas de cours sur le sujet, je te conseille vivement d'en trouver un. Ça figure dans tous les bons cours de calcul différentiel.

Posté par
Obelix
re : Convexité d’une fonction numérique de plusieurs variables r 17-11-10 à 20:45

Oui OK maintenant que je sais où et quoi chercher, je viens de le trouver dans le vire.
Merci pour l'info.



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