Niveau maths spé

Convexité de l'intégrale d'une fonction croissante

Posté par
Kaaly019 14-06-15 à 20:30

Bonjour à tous,

Je rencontre un soucis avec la première question d'un exercice de maths... Voici l'énoncé :

Soit PHI : [a;b] -> R une fonction croissante et soit PSI la fonction définie sur [a;b] par :

PSI(x) = intégrale (de a à x) PHI(u) du.

Soient x,y appartenant à [a;b] et alpha appartenant à ]0;1[, on pose :

Delta = PSI(alpha * x + (1 - alpha) * y) - alpha * PSI(x) - (1 - alpha) * PSI(y)

QUESTION 1 : Montrer que Delta = (1-alpha) * intégrale (de 0 à y-x) PHI(x + (1-alpha)*u) - PHI(x+u) du
QUESTION 2 : Que peut-on conclure ?

Pour la question 2 pas de soucis.
Mais la Question 1, j'ai fait des changements de variables un peu dans tous les sens (u'=x+u, x'=x+(1-alpha)*u, u'=u-a etc...) et je n'arrive vraiment pas à montrer l'égalité ...

Avez-vous une idée ?

Merci d'avance et excusez moi pour la rédaction de l'exercice qui est loin d'être parfaite ... !

Posté par re : Convexité de l'intégrale d'une fonction croissante 14-06-15 à 21:10

salut

l'alphabet compte 26 lettres ... que tu n'as pas l'air de connaître ...

soit f: [a, b] --> R croissante et $F(x) = \int_a^x f(t)dt$

pour u dans ]0,1[

$d(u) = F(ux + (1 - u)y) - uF(x) - (1 - u)F(y) = F(y + u(x - y)) - F(x) + (1 - u)F(x) - (1 - u)F(y) = F(y + u(x - y)) - F(x) + (1 - u)[F(x) - F(y)] = \\ \\ \int_a^{y + u(x - y)} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt + (1 - u) \int_y^x f(t)dt$

or $(1 - u)\int_y^x f(t)dt = -(1 - u) \int_x^y f(t)dt = -(1 - u)\int_0^{y - x}f(x + u)du$

je te laisse traiter le premier morceaux qui est du même genre ....

Posté par re : Convexité de l'intégrale d'une fonction croissante 14-06-15 à 21:22

évidemment le u de l'intégrale est une variable muette .... mais comme tu risques de ne pas comprendre ....

or $(1 - u)\int_y^x f(t)dt = -(1 - u) \int_x^y f(t)dt = -(1 - u)\int_0^{y - x}f(x + v)dv$
en posant t = x + v ....

Posté par Merci 20-06-15 à 17:03

Merci pour le calcul détaillé.

Dommage que la suffisance de ton propos vienne tout gâcher.

Je vais m'empresser de réviser mon alphabet, je te conseille d'en faire pareil pour tes accords en nombre.

« J'ai appris qu'un homme a le droit de regarder quelqu'un de haut seulement quand il est en train de l'aider à se relever » [sans vouloir en tirer un quelconque prestige personnel]

Une citation de Gabriel Garcia Marquez, complétée par mes soins, à méditer.

Posté par re : Convexité de l'intégrale d'une fonction croissante 20-06-15 à 18:58

MDR

mon objectif est justement ::

1/ de te tirer vers le haut ... (l'abstraction des lettres ... qui ne sont que des symboles et l'apprentissage de l'adaptation ... à une machine en l'occurrence pour apprendre à être efficient avec un système donné ... ou faire l'effort de ... (comme moi utiliser LaTeX) pour être lisible ... et lu ...

2/ sans en tirer aucune fierté ni aucun prestige

quant à te remarque .... combien de fautes ai-je "commises" ?

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