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convexité et exponentielle...

Posté par
Kasdaye 06-05-08 à 19:55

Bonsoir, voici un petit exo sur lequel je bloque, et pourtant, je suis sûr que l'astuce est toute bête.

Montrer grâce à la convexité de l'exponentielle que :

(a1,a2,...an)]0,+[n :

a1/a2 +a2/a3 + ... + an-1/an + an/a1 n


J'ai essayé plusieurs démarches, les barycentres, les cordes, les tangentes, mais à chaque fois, j'y arrive pas .

Je suis donc preneur pour toute piste, merci

Posté par
Nightmarere : convexité et exponentielle... 06-05-08 à 20:17

Salut

On a pour f convexe l'inégalité de Jensen :

3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n} \lambda_{k} f(x_{k})\ge f\(\Bigsum_{k=1}^{n} \lambda_{k} x_{k}\)

On prend alors les 3$\rm \lambda_{i} tous égaux à 1, f la fonction exponentielle et 3$\rm x_{1}=ln\(\frac{a_{1}}{a_{2}}\) , 3$\rm x_{2}=ln\(\frac{a_{2}}{a_{3}}\) ... 3$\rm x_{n}=ln\(\frac{a_{n}}{a_{1}}\)

On a alors 3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n} e^{x_{k}}\ge e^{\Bigsum_{k=1}^{n} x_{k}}
ie 3$\rm \frac{a_{1}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}}{a_{1}} \ge \Bigprod_{k=1}^{n} e^{x_{k}}
soit :
3$\rm \frac{a_{1}}{a_{2}}+...+\frac{a_{n}}{a_{1}}\ge n

Posté par
Kasdayere : convexité et exponentielle... 06-05-08 à 20:58

Merci pour ta réponse Nightmare

Mais j'ai essayé de passer par Jensen, or le pi vaut 1, puisque le produit des ai/ai+1 fait 1, non ? donc je ne vois pas d'où sort le n ^^

Posté par
Tigweg Correcteurre : convexité et exponentielle... 06-05-08 à 20:59

Bonsoir,

ça ne ferait pas 1 plutôt, le produit 3$\rm\Bigprod_{k=1}^{n}%20e^{x_{k}} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : convexité et exponentielle... 06-05-08 à 21:00

Posts croisés!

Posté par
Kasdayere : convexité et exponentielle... 06-05-08 à 21:02

Apparement ^^

C'est justement le problème, avec tout ce que j'ai essayé, barycentres, inégalités ou Jensen, j'arrive toujours à 0 ou 1 . Donc, en fait, je cherche surtout une piste, j'aime chercher seul , quand c'est possible ^^

Posté par
Kasdayere : convexité et exponentielle... 06-05-08 à 21:09

en revanche, ça marche avec le barycentre du coup

En prenant l'isobarycentre, le n apparait.

J'ai pas pensé au ln ^^

Merci encore Nightmare


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