J'ai oublié de précisé que 1 est un autre point fixe (, donc en gros ce que je voudrais comprendre c'est pourquoi il n'y en a pas d'autre dans l'intervalle où est le point fixe dont on connaît l'existence dans . Désolé pour le mic-mac.

Je crois que c'est bon j'ai trouvé tout seul. Merci quand même!

Je ne comprends pas trop .

x (1 + x²)/2  de   [0 , 1] vers est croissante et  strictement convexe  mais  n'a pas de point fixe autre que 1 .

Bonsoir !
Un point fixe de est l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe avec la bissectrice des axes. Or la courbe d'une fonction strictement convexe ne peut rencontrer une droite en plus de deux points.

@etniopal Je n'ai peut-être pas été très explicite, mais en gros ce que je voulais savoir c'est pourquoi si on sait qu'on a deux points fixes, pourquoi on ne peut pas en avoir de troisième. Mais en utilisant dérivée seconde strictement positive implique dérivée strictement croissante, je m'en suis sorti. Merci quand même à vous deux pour vos réponses.

Bonsoir,
si f est une fonction strictement convexe, qu'elle soit dérivable ou non, l'intersection de son graphe avec une droite comporte au plus deux points.
C'est une conséquence directe de la définition.