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Convolabilité L1-Lp

Posté par
Saiga 27-10-17 à 19:38

Bonsoir,

J'ai quelques difficultés à montrer la convolabilité L^1-L^p.

Pour définition de la convolabilité j'ai que deux fonctions f et g sont convolables si pour presque tout x\in \mathbb{R}^d la fonction y\mapsto f(x-y)\cdot g(y) est intégrable. On définit alors le produit de convolution de f et de g par :

(f\star g)(x) = \int_{\mathbb{R}^d}f(x-y)\cdot g(y)dy.

Soit f\in L^1(\mathbb{R}^d) et g\in L^p(\mathbb{R}^d), je ne vois pas comment montrer la convolabilité de f et g....

J'ai essayé d'y aller direct, en majorant l'expression : \int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|\cdot |g(y)|dy, mais je n'aboutie pas...

Du coup j'essaye en utilisant les théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue : \int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|\cdot |g(y)|dydx.

Par l'inégalité de Hölder appliquée à  l'application y\mapsto |f(y)|^\frac{1}{p}\cdot |g(x-y)|\cdot |f(y)|^\frac{1}{q}, on a :

\int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|\cdot |g(y)|dydx \leq \int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|\cdot |g(y)|^p dy\right)^\frac{1}{p}\left( \int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|dy\right)^\frac{1}{q}dx

et là...

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 20:17

Salut,

je ne vois pas trop pourquoi tu veux utiliser Hölder ici mais peut être qu'il y a moyen.

Pour ma pars, la démonstration que je connais fait appel à l'inégalité de Jensen appliqué à la fonction :X--->Xp

Si ||f||1>0 (le cas nulle est trivial) alors ,pour être rapide:
-tu appliques L'inégalité de Jensen à : (\int_{R}^{}{|g(x-t)||f(t)|dt})^{p}\leq \int_{R}^{}{|g(x-t)|^{p}|f(t)|dt} (*)

Ensuite tu intègres le membre de gauche et tu trouves: (|| |f|*|g| ||p)p.
Tu intègres ensuite le membre de droite ( dans (*) )et pour finir tu utilise Fubini pour te ramener à du
(|| |f|*|g| ||p)p||f||1(||g||p)p
qui est intégrable d'après les hypothèses.

(ici "*" est le symbole de convolution!)

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 21:49

Bonsoir Jokass,

Je ne vois pas en quoi ce que tu donnes me montre que f et g sont convolables, c'est-à-dire que y\mapsto f(x-y)g(y) est dans L^1(\mathbb{R}^d) ? Ai-je zappé une subtilité ?

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 21:54

|f*g||f|*|g|

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 21:55

Ah par contre tu te trompes sur un point, tu ne peux pas forcer le produit de convolution à être dans L1() mais uniquement à être dans Lp()

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 22:04

Je me disais aussi qu'il y avait un truc...

Donc ma définition de la convolabilité n'est pas correcte :

Saiga @ 27-10-2017 à 19:38


Pour définition de la convolabilité j'ai que deux fonctions f et g sont convolables si pour presque tout x\in \mathbb{R}^d la fonction y\mapsto f(x-y)\cdot g(y) est intégrable. On définit alors le produit de convolution de f et de g par :

(f\star g)(x) = \int_{\mathbb{R}^d}f(x-y)\cdot g(y)dy.


celle-ci n'est valable que dans L^1 ?

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 22:21

Le produit de convolution se définit dans les espace Lp. (puisqu'on a une intégrale)

As-tu fait la théorie des espaces Lp?  (j'aurai du commencer par là...)

Dans il n'y a aucune inclusion entre eux donc il n'y a aucune raison poour qu'ici ce soit le cas.
(ce n'est pas vrai sur le Tor, c'est d'ailleurs pour ça que l'on fait des convolutions sur le Tor, donc en analyse de Fourier)

Je ne comprend pas ce qui t'embête, on a quand même montrer un truc de fou là! C'est assez magnifique que si on prend une fonction L1 et l'autre Lp la convolution reste dans Lp!

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 22:43

Bah disons que la théorie des espaces L^p a été un peu confuse pour moi, mais je suis entrain de revoir tout ça...

Pour ce qui m'embête c'est vraiment la vérification de la convolabilité de f et de g... Je m'explique :

Dans le bouquin que j'utilise (Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, de El Amrani), on définit la relation de convolabilité par :

Deux fonctions f,g : \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R} sont convolables si pour presque tout x\in \mathbb{R}^d la fonction y\mapsto f(x-y)g(y) est intégrable. On définit alors le produit de convolution de f et de g par : (f\star g)(x)=\int_{\mathbb{R}^d}f(x-y)g(y)dy.

Et cette définition ne tient aucun compte de l'espace dans lequel se trouve f ou g. Du coup, pour avoir l'existence du produit de convolution il faut que je vérifie que les fonctions soient convocables, c'est-à-dire que y\mapsto f(x-y)g(y) est intégrable, donc dans L^1(\mathbb{R}^d).

Aussi dans chaque démonstration de convolabilité il faut vérifier ce point... et ce point ne me semble pas vérifié dans ta preuve... Pour moi ce que tu démontre c'est que sous réserve d'existence du produit de convolution de f\in L^1 et g\in L^p on a : \lVert f \star g\rVert_p\leq \lVert f \rVert_1\cdot \lVert g \rVert_p^p en fin un truc du genre vu :

jokass @ 27-10-2017 à 20:17


Tu intègres ensuite le membre de droite ( dans (*) )et pour finir tu utilise Fubini pour te ramener à du
(|| |f|*|g| ||p)p||f||1(||g||p)p
qui est intégrable d'après les hypothèses.

(ici "*" est le symbole de convolution!)

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 22:54

D'accord.

ça veut dire quoi être intégrable?

Dans ma preuve, je n'ai; à AUCUN moment; supposé l'existence du produit de convolution.
Ou alors montre moi l'endroit exacte, je peux me tromper.

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 22:59

Pour moi "être intégrable" signifie être dans L^1... ou du moins je crois...

En effet, j'ai sauté malencontreusement une de tes phrases... Toute mes excuses mais ta preuve ne me convainc pas du point de vue de l'existence de produit de convolution...

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:14

De fait ce n'est pas une preuve rigoureuse puisque je n'ai pas tout réécrit.

Ce que tu veux prouvé, est-il marqué dans le livre?
Parce que si c'est le cas j'aimerai voir la preuve car je pense fortement qu'elle est fausse.

Ok j'ai compris la définition donnée dans le livre, maintenant je te demande quelle sont les hypothèses pour que le produit de convolution existe?

Remarque que si f et g sont intégrables c'est le cas. Puisque p=1.
Au passage pour f et g intégrable la preuve peut se faire rapidement grâce à Fubini.

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:17

Et tu as raison je viens de voir que la fin est fausse j'ai dit "intégrable" mais j'aurai du dire "est dans Lp()"

Lol c'est exactement ce que je dis depuis tout à l'heure alors forcément oui je comprend que tu ne m'ai pas compris.

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:26

Désolé du triple poste, mais pour clarifier les choses:

-Non la convolution ne se définit pas que dans L1(), c'est d'ailleurs pour ça qu'on a inventer les espaces Lp. Certaines fonctions ne sont pas "intégrables" mais peuvent être dans Lp() p>1.

-Oui dans la plupart des cas on ne se fatigue pas. On AIMERAIT que le produit de convolution f*g soit intégrable, mais parfois il est dans Lp() et on est quand même content parce qu'on peut encore faire des trucs.

-Oui la conclusion que j'ai écrit est erroné. J'ai donc tenu un discours schizophrène . Je croyais avoir écrit l'appartenance dans Lp() . En tout cas c'était clair dans ma tête, d'après mes messages suivant)

-Tout ça reste par pur théorie (des espaces Lp), en général on prend des fonctions intégrables et on fait le produit de convolution et basta!

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:31

Dans le livre, c'est énoncé comme suit :

Soit f \in L^1 et g\in L^p, avec 1\leq p < +\infty. Alors pour presque tout x\in \mathbb{R}^d, la fonction y\mapsto f(x-y)g(y) est intégrable sur \mathbb{R}^d et f\star g est dans L^p. De plus, on a  : \lVert f\star g \rVert_p\leq \lVert f \rVert_1\cdot \lVert g \rVert_p.

Dans le livre, on a déjà traité le cas p=1, donc pour la preuve il suppose que p>1. Il introduit alors une fonction indicatrice : 1_{K}(x), où K est un compact de \mathbb{R}^d. Et enchaîne en disant que par Fubini-Tonelli et l'inégalité de Hölder, on a :

\int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)||g(y)|1_{[a,b]}(x)dy\right)dx=\int_{\mathbb{R}^d}|g(y)|\left(\int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|1_{[a,b]}(x)dx\right)dy\leq \lVert f \rVert_1 \cdot \lVert g \rVert_p\cdot (b-a)^\frac{1}{q}

et à partir de là il conclut que la fonction y\mapsto f(x-y)g(y) est intégrable sur \mathbb{R}^d...

Et là je ne comprend pas trop la généralisation du sur tout compact à sur \mathbb{R}^d tout entier...

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:37

Il a donc marqué "f*g est dans Lp". Et je suis d'accord avec lui.

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:40

Il a fait comme moi il a dit "intégrable" mais il voulait dire "intégrable dans L^p" qui est un abus de langage, bien entendu.

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:43

oui moi aussi, la fonction x\mapsto (f\star g)(x) est dans L^p, mais moi ce que je souhaite montré c'est que y\mapsto f(x-y)g(y) est dans L^1.

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:50

Avec les mêmes hypothèses que ceux que tu m'as donné précédemment, je te souhaite bonne chance, puisque c'est faux.

Tu ne peux pas forcé la convergence dans L^1 puisqu'elle est dans L^p et qu'il n'y a absolument aucune inclusion (dans un sens ou dans l'autre) entre les espaces L^p( )

Encore une foi, si on travaille sur le Tor ou si tu préfère si les fonctions sont périodiques (une hypothèse supplémentaire donc, c'est important les hypothèses, c'est un peu le ciment des mathématiciens) alors dans ce cas oui tout est plus facile car L^p(T)L^1(T). Et ça ça change tout!

C'est pour ça qu'on aime bien les fonctions périodiques et que les convolutions s'utilisent notamment pour l'analyse de Fourier; on a une convergence L^1 pour une très très vaste gamme de fonctions.

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 27-10-17 à 23:58

Je crois que tu ne vois pas la différence des objets que tu et que je considère... toi tu me parle de la convolée qui (et je suis d'accord est dans L^p), c'est-à-dire de la fonction de variable x définie par : x \mapsto (f\star g)(x)=\intf(x-y)g(y)dy, moi je te parle de la fonction de variable y définie par y\mapsto f(x-y)g(y) et là pas d'intégrale d'ou le souci d'existence du produit de convolution (ie : l'intégrabilité de ma fonction de variable y) et non d'appartenance à L^p ( ie : intégrabilité de la fonction de variable x dans L^p)!

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 00:11

Non non j'ai bien compris, et le produit de convolution (f*g)(x)=f(t)g(x-t)dt donc c'est bien ce que tu définies.

Je pense que c'est toi qui ne comprend pas que la notion "d'être intégrable" est une notion qui dépend en fait de l'espace L^p que l'on considère, et en général on se place dans le cas p=1, d'où les confusions.
Être intégrable c'est être dans L^1, mais par abus de langage on peut être "intégrable dans L^p".

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 00:16

Bah du coup c'est bizarre car si tu relis le début de preuve que j'ai repris du bouquin il montre bien que y\mapsto f(x-y)g(y) est dans L^1...

Posté par
jokassre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 00:55

Oui d'accord.

Bon je commence à fatiguer moi...

Si tout le truc est fini, la fonction t->f(t)g(x-t) est intégrable dans L^1, puisque ce qu'il y a à l'intérieur de ton intégrale est fini...

On ne s'était pas compris depuis le début...

Posté par
jsvdbre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 02:03

Bonne nuit à vous !
J'arrive à pas de velours à la fin pour résumer les cas classiques :

1/ Si f,g \in L^1(\R^n) alors :

(f*g)(x) = \int_{\R^n}^{}{f(x-y)g(y)dy}=\int_{\R^n}^{}{f(y)g(x-y)dy} est fini pour presque tout x \in \R^n.
De plus f*g \in L^1(\R^n) et ||f*g||_{L^1} \leq ||f||_{L^1} .||g||_{L^1}.

Avec cette petite remarque que f.g n'appartient pas forcément à L^1 et que donc les expressions \int_{\R^n}^{}{f(x-y)g(y)dy}~et~\int_{\R^n}^{}{f(y)g(x-y)dy} n'ont pas de sens à priori ...

----------------------------------------------
2/ Si f \in L^p(\R^n), ~g \in L^q(\R^n) avec 1/p + 1/q = 1 alors :

f*g \in L^{\infty}(\R^n) et ||f*g||_{L^\infty} \leq ||f||_{L^p} .||g||_{L^q}

----------------------------------------------
3/ Si f \in L^1(\R^n), ~g \in L^p(\R^n) pour 1 \leq p < +\infty alors :

f*g \in L^p(\R^n) et ||f*g||_{L^p} \leq ||f||_{L^1} .||g||_{L^p}.

Posté par
etniopalre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 11:27

     \int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)||g(y)|1_{[a,b]}(x)dy\right)dx=\int_{\mathbb{R}^d}|g(y)|\left(\int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|1_{[a,b]}(x)dx\right)dy\leq \lVert f \rVert_1 \cdot \lVert g \rVert_p\cdot (b-a)^\frac{1}{q}
est incorrect  ( ça l'est si d = 1 ) .
_______

    On prend f et g  des applications de E : d  ( d * ) vers + que l'on suppose boréliennes et vérifiant f < +  et gp < + .
On se donne aussi un réel a > 0 et on pose K = [-a , a]d et u sera l'indicatrice de K .

On considère alors l'application  h :  (x,y) f(x-y)u(x)g(y) qui est borélienne  de E² vers   +.
On " fubinise "  J(a) :=   h(x,y)dxdy .
J(a) = (f(x-y)u(x)dx)g(y)dy

Comme f(x-y)u(x)dx = f(t)u(y+t)dt  on a :
J(a) = (u(y+t)g(y)dy)f(t)dt
Mais  
(u(y+t)g(y)     ( uq(y+t) dt )1/q.( gp)p) qui est < + et donc  J(a) < + .
Comme J(a) = ()dx

Ceci prouve que pour presque tout x de K  on a : f(x-y)g(y)dy < + .
Et cela entraine que  pour presque tout x de  E   on a : f(x-y)g(y)dy < + .

Si maintenant f et g ne sont pas 0 , on remplace  dans ce qui précède f par |f| et g par |g| .
Alors , pour  presque tout x de  E , y   f(x-y)g(y) est intégrable  (et son intégrale est notée f\starg ) .


Posté par
etniopalre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 11:42

Une erreur et un oubli  après Mais :

Remplacer par :

Mais  
(u(y+t)g(y)dy      ( uq(y+t) dy)1/q.( gp)1/p)  = (2a)d/q ].( gp)1/p  .
On a donc   J(a) < + .

Comme J(a) = (f(x-y)g(y)dy)u(x)dx  ,  pour presque tout x de K  on a :  f(x-y)g(y)dy < + .

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 12:27

Tout d'abord bienvenue à Jsvdb et Etniopal sur ce topic et merci respectivement pour le résumé et la preuve.

Juste au cas où, voici ce que j'ai finalement fait ce matin :

Soit f\in L^1(\mathbb{R}^d) et g\in L^p(\mathbb{R}^d). On considère : q le conjugué de p. On écrit :

|f(x-y)|\cdot |g(y)| = |f(x-y)|^\frac{1}{p}\cdot |g(y)|\cdot |f(x-y)|^\frac{1}{q}.

Alors, comme y\mapsto |f(x-y)|^\frac{1}{p}\cdot |g(y)| est dans L^p et y\mapsto |f(x-y)|^\frac{1}{q} est dans L^q, par l'inégalité de Hölder, on a que :

\int_{\mathbb{R}^d}|f(x-y)|\cdot |g(y)|dy\leq \left( \int_{\mathbb{R}^r}|f(x-y)|\cdot|g(y)|^pdy\right)^\frac{1}{p}\times \lVert f \rVert_1^\frac{1}{q}=\left[ (|f|\star |g|^p)(x)\right]^\frac{1}{p}\times \lVert f \rVert_1^\frac{1}{q}.

Ainsi, le produit de convolution de f et g existe et est définie pour presque tout x\in \mathbb{R}^d.

Posté par
etniopalre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 17:39

1.
     Pourquoi  y\mapsto |f(x-y)|^\frac{1}{p}\cdot |g(y)|    est dans   L^p  ?

2.
   Puisque tu as l'air d'être  doué  en  LATEX  , tu devrais remplacer tes L^p  par des   {\cal{L}}^p   .
Dans ma démonstration je n'utilise ni L ni   \cal{L} ; c'est inutile .

Posté par
etniopalre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 18:00

     Il y a au moins un " vice " dans ce que tu as posté à 12h 27 : on n'utilise f\targ qu'après avoir montré son existence ; mais pas pendant qu'on essaie de la montrer (cet existence) .
C'est ce que tu  as fait   quand tu as  écris   (|f|\star |g|^p)(x))


Posté par
etniopalre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 18:10

Correctif :  on n'utilise f \star g qu'après ....

Posté par
Saigare : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 18:32

La dernière égalité n'apporte rien de plus, on peut donc l'enlever le vice est ainsi éliminé...

Pour le fait que y\mapsto |f(x-y)|^\frac{1}{p}\cdot |g(y)| soit dans L^p, cela vient du fait que :

\int \left(|f(x-y)|^\frac{1}{p}\cdot |g(y)|\right)^p dy=\int |f(x-y)|\cdot |g(y)|^p dy et en intégrant suivant x et en utilisant Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgues, on a que c'est fini. Non?

Posté par
jsvdbre : Convolabilité L1-Lp 28-10-17 à 18:42

Effectivement, l'idée générale est là, il faut juste le rédiger correctement


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