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convolution

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jakob210 23-04-07 à 10:16

salut tous le monde.J'aimerai bien que vous m'aidiez a resoudre ce probleme,soit f une fonction dans L1 inter L².h=exp(-/t/+itx)dt (j'integre sur R)
alors je veux montrer que f*hL1 INTER L² et que sa transformation de Fourier y appertient aussi a L1 inter L².

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 10:17

pour le * c'est le produit de convolution et merci pour votre aide.bonne journee

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 10:24

ben j'ai montrer que hL1 et on a fL1 d'ou la convolee de deux application de L1 est dans L1 de meme j'ai f L2 alors f*hL2 .Ainsi d'apres theoreme de plancherel je trouve queTF(f*h)L2 .bn voila il me reste de montrer que TF(f*h )L1.

Posté par
kaiser Moderateurre : convolution 23-04-07 à 11:04

Bonjour jakob210

utilise une propriété de la transformée de Fourier pour exprimer d'une autre manière \Large{TF(f\ast h_{\lambda})}.
avant tout, essaie de montrer que \Large{h_{\lambda})} est dans \Large{L^{2}}.

Kaiser

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 11:12

oui merci Kaiser.TF(f*h)=TF(f). TF(h) mais j'y arrive pas à montrer que hL².une fois j'ai motrer cele c'est gagné n'es pas,car f L² alars sa transformee est dans L2 de meme pour h.d'apres Holder je trouve que le produit est dans L1.

Posté par
kaiser Moderateurre : convolution 23-04-07 à 11:20

comment-as tu montré que \Large{h_{\lambda}} était dans \Large{L^{1}} ? Normalement, si je pense bien comment tu as procédé, alors cela devrait être la même méthode à appliquer pour prouver que cette fonction est dans \Large{L^{2}} et même, sauf erreur dans \Large{L^{p}} pour tout p réel supérieur à 1.

Kaiser

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 11:30

ben j'ai trouvé que h(x)=2/2+x2et en particulier par calcul je trouve;h(x)dx=1 mais j'arrive pas a la montrer dans L2

Posté par
kaiser Moderateurre : convolution 23-04-07 à 11:41

tu dis que tu as trouvé que \Large{h_{\lambda}(x)=\frac{2\lambda}{\lambda^{2}+x^{2}}} ?
dans ce cas, il est immédiat que cette fonction est dans \Large{L^{2}}.
Il suffit de regarder son carré et de remarquer que ce carré est dans \Large{L^{1}} (par définition)

Kaiser

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 11:52

merci Kaiser et desole pour derrangement mais j'arrive pas a calculer cette integrale merci davance pour votre aide

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 12:06

2/[2+x2 ]2 dx = et merci pour votre aide

Posté par
kaiser Moderateurre : convolution 23-04-07 à 13:44

on ne te demande pas de calculer cette intégrale mais simplement de justifier son existence, ce qui n'est pas la même chose.

Kaiser

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 13:51

ah bn.ona 2+x2x2ce qui implique 2/ [2+x2]2  2/ x4 par passage a lintegrale sur R ca me donne la convergence c'est ca la bon reponse?

Posté par
kaiser Moderateurre : convolution 23-04-07 à 13:55

Tout à fait !
Le seul problème se trouve en l'infini et avec ce que tu viens de dire, le caractère \Large{L^{2}} est immédiat.

Kaiser

Posté par
jakob210convolution 23-04-07 à 13:57

ok,merci beaucoup.bonne journée.

Posté par
kaiser Moderateurre : convolution 23-04-07 à 13:59

Mais je t'en prie !
Bonne journée à toi aussi !


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