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Convolution et vocabulaire

Posté par Samy (invité) 11-05-06 à 11:12

Bonjour à tous

Je cherche peut-être la ptite bête mais voilà j'ai un ptit soucis de vocabulaire concernant un énoncé :
Soient f \in L^p(\mathbb{R}) & g \in L^q(\mathbb{R}) avec 1<p<q<+\infty et \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1
On nous demande de montrer que h(x)=\int f(x-y)g(y)dy est bien définie pour tout y\in\mathbb{R}
Je me demande si :
- je dois fixer y et regarder si la fonction x\to f(x-y)g(y) est intégrable c'est-à-dire faire :
\int_{\mathbb{R}} |f(x-y)g(y)|dy \le (\int_{\mathbb{R}} |f(x-y)|^pdy)^{\frac{1}{p}} x (\int_{\mathbb{R}} |g(y)|^qdy)^{\frac{1}{q}} par Hölder puis conclure avec les hypothèses
- ou plutôt considérer les deux variables et utiliser Fubini pour trouver une double intégrale finie et en déduire que l'intégrale simple est finie

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
kaiser Moderateurre : Convolution et vocabulaire 11-05-06 à 12:19

Bonjour Samy

Selon moi, il faut, à x fixé, montrer que la fonction \Large{y\mapsto f(x-y)g(y)} est intégrable.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convolution et vocabulaire 11-05-06 à 12:47

Je viens de me rendre d'une chose : l'énoncé ne serait-il pas plutôt que la fonction est bien définie pour tout x (et non y) ?

Posté par Samy (invité)re : Convolution et vocabulaire 11-05-06 à 13:30

L'énoncé indique bien "pour tout y" et non tout x...
Donc ce serait la première idée qui serait la bonne.
Par contre, s'il faut montrer que h(x) est intégrable là il faudra je suppose utiliser Fubini.
Merci de ta réponse

Posté par Samy (invité)re : Convolution et vocabulaire 11-05-06 à 13:41

Une autre petite chose si l'énoncé avait été "pour tout x" là il aurait fallu utiliser la deuxième idée c'est ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convolution et vocabulaire 11-05-06 à 21:23

Il me semble que la question n'a pas de sens puisqu'on intégre par rapport à y.
En supposant que c'est "pour tout x", alors dans ce cas, il faut utiliser la deuxième idée mais en intervertissant les rôles de x et y (cela dit, ça revient à la même chose).


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