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Corollaire Bolzano Weierstrass
Bonjour, voici un corollaire dont j'ai du mal à en comprendre le sens:
Corollaire Bolzano-Weierstrass : Soit une suite bornée telle que toutes les sous-suites convergentes que l'on peut en extraire aient même limite
. Alors
Démonstration:
P1) Si la suite converge alors
P2) Supposons ab absurdo que ne converge pas, ainsi,
et il existe une sous suite
telle que
.
Cette sous-suite étant bornée, par le théorème de Bolzano Weierstrass, il existe une sous-suite de
qui converge.
P3) Cette sous suite est une sous-suite de
qui ne converge pas vers
ce qui est contradictoire avec nos hypothèse.
______________________________ Mes Questions________________________________________________________
Q1) Dans P1) qu'est-ce qui nous permet de dire que si converge alors sa limite est
? car dans la démonstration, on ne montre pas que si
converge alors
Q2) Dans P2) je ne comprend pas pourquoi le fait que si diverge, alors
tel que
? Pour moi ce serait plutôt que
, mais ce n'est certainement pas
!
Q3) Dans P3), certes converge, mais qu'est-ce qui nous permet de dire qu'elle ne converge pas vers
?
Surtout que j'ai mon devoir commun bientôt, donc si vous pouviez être le plus précis possible dans vos réponses, ce serait gentil 
Merci beaucoup !
Bonjour
Q1) Il faut savoir que si une suite est convergente, alors toute suite extraite converge vers la même limite
Q2) Tout le monde a raison. L'écriture du corrigé revient à construire la suite en utilisant la propriété quue tu donnes, par récurrence sur
. On prend à chaque fois ton N égal à
et on affirme l'existence d'un
strictement supérieur.
Q3) Comme tous les termes de la nouvelle suite vérifient , elle ne risque pas de tendre vers
...
Bonjour
1) Toute suite est une suite extraite d'elle-même, et on a posé comme hypothèse que toute suite convergente extraite de (xn) convergeait vers c.
2) Pour tout n0, il existe n ≥ n0 tel que |xn-c| > e. À partir de là, tu peux très facilement construire une suite extraite de (xn) dont tous les termes vérifient |xn-c| > e. D'abord tu prends n0 = 0 et tu cherches un n ≥ n0 tel que |xn-c| > e. Il en exise forcément un, appelons-le n1. Ensuite tu cherches un n > n1 tel que |xn-c| > e. Encore une fois, il existe forcément, tu l'appelles n2. Etc.
3) La suite ne peut certainement pas converger vers c, puisque tous ses termes sont à distance au moins e de c.
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