Bonjour tout le monde

les partielles arrivent à grands pas et je strsse beaucoup, voila, je me suis encore adressé à vous une autre fois, donc j'ai un problème concernant les intègrales et les séries, là j'ai fais un très gros effort de rédaction,(vu que je pers trop de point dessus) voila je vous donne le problème et ce que j'ai fais aussi et je souhaite que vous m'indiqueriez là ou j'ai fais des erreurs éventuellement ou bien si je suis pas très claire que vous  me guidiez à faire mieux
voila
Soit

t f:[0,1]->R définie par :
f(t)= 0 si t=0
f(t)=tln t si
1/ montrer que f ainsi définie est continue sur [0,1], faire l'étude de la fonction f puis la tracer .

pour montrer la continuité de f on calcul la limite de f en 0 voire si on pourrait la prolonger par continuité
alors lim t->0 t ln t = ?
j'ai t ln t = ln t /1/t
donc lim t->0 lnt /1/t = lim t->0 ln t ' /1/t' (théorème de l'hôpital)
lim -t = 0
or f(0) = 0 donc on pourrait prolonger la fonction par continuité donc f est continue sur [0,1]
pour étudier f
f est différentiable sur ]0,1]  (théorème généraux)
(tln t )' = ln t + 1
on a f'(t)>0 ssi ln t >1
de façon analogue on a f'(t)<0 si t <1/e
et la fonction s'annule en 1/e
donc f a une valeur extrême relative dans ]0,1] et comme f''(1/e)>0 donc 1/e est un minimum alors la fonction est décroissante sur [0,1/e] croissante sur [1/e,1]



on pose g = exp o f .
Expliciter le domaine de g et l'expressio de g.

D_f  = D_g car D_exp = R
donc D_g = [0,1] ?

c/Montrer que    existe ..

on a g continue [0,1] car c'est la composée de deux fonctions continue donc elle est intègrable sur [0,1] donc l'intègrale existe .

2/maintenant pour tout on définit la fonction par et je veux montrer que la série [f_i] converge sur [0,1] à quoi est égale à la somme de cette série ? à l'aide de l'étude de la f montrer que la série de fonction est normalement convergente sur [0,1] et en déduire que

[COLOR=Purple]convergence de la série de fonctions [f_i][/COLOR]
Pour le faire, je fixe un : alors la série converge vers (ou 0 si t=0). ( je ne sais pas si j'ai montrer la convergence )

La somme de cette série :  c'est e^(f(t))
la convergence normale ..
pour la converge normale moi je trouve pas que f est majorée par exp(-k) mais je trouve qu'elle est minorée par exp(-1) tu vois ? tu peux dériver deux fois et  f''>0 donc c'est un minimum non un maximum et en valeur absolue c'est majoré par 1/e mais en fait il faut majorer par une série qui converge, chose que je ne sais pas faire

[COLOR=Purple]en déduire que [/COLOR]
on a la some de [f_i] c'est expof=g et aussi on a la convergence normale sur [0,1]  donc [f_i]converge uniformément sur [0,1] on a donc le droit de permuter la somme et l'intégrale pour obtenir l'égalité voulu.

voila ceci est la première partie, notre prof nous demande d'être le plus rigoureux possible alors svp essaiyer de perfectionne ce que j'ai fais ..

Bien cordialement.