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Niveau seconde
correction exercice de maths fonctions etc...
Posté par arslan
Salut à tous, j' ai un exercice de maths et j' aurais besoin de votre aide svp pour la correction, voila l' énoncé:
Citation :
ABCD est un rectangle tel que AB=10 et BC=6.
M est un point du segment [AB]
N est un point du segment [BC]
P est un point du segment [CD]
Q est un point du segment [DA]
avec AM=BN=CP=DQ=x
1° a) Faire la figure pour x=2.
Calculer dans ce cas l' aire du quadrilatère MNPQ.
b) Faire la figure pour x=5, donner l' aire du quadrilatère MNPQ.
2° Quelles sont les valeurs que peut prendre x ?
Que se passe-t-il pour x=0 ?
Et pour x=6 ?
3° L' aire du quadrilatère MNPQ est une fonction de x notée f.
a) Donner l' ensemble de définition de la fonction f.
b) Déterminer l' aire du quadrilatère en fonction de x. En déduire l' expression de f(x).
4° a) Donner le tableau de valeurs de la fonction f lorsque x € [0;6] avec un pas de 1.
b) Représenter graphiquement la fonction f.
5° a) Graphiquement, pour quelle position du point l' aire semble-t-elle minimale ?
b) Montrer que f(x)= 2(x-4)²+ 28
En déduire la valeur exacte du minimum et la position du point M correspondante.
6° Pour quelles positions du point M l' aire du quadrilatère MNPQ vaut-elle 34 cm² ?
Déterminer les solutions à l' aide du graphique puis algébriquement.
Même question pour une aire de 40 cm²
ABCD est un rectangle tel que AB=10 et BC=6.
M est un point du segment [AB]
N est un point du segment [BC]
P est un point du segment [CD]
Q est un point du segment [DA]
avec AM=BN=CP=DQ=x
1° a) Faire la figure pour x=2.
Calculer dans ce cas l' aire du quadrilatère MNPQ.
b) Faire la figure pour x=5, donner l' aire du quadrilatère MNPQ.
2° Quelles sont les valeurs que peut prendre x ?
Que se passe-t-il pour x=0 ?
Et pour x=6 ?
3° L' aire du quadrilatère MNPQ est une fonction de x notée f.
a) Donner l' ensemble de définition de la fonction f.
b) Déterminer l' aire du quadrilatère en fonction de x. En déduire l' expression de f(x).
4° a) Donner le tableau de valeurs de la fonction f lorsque x € [0;6] avec un pas de 1.
b) Représenter graphiquement la fonction f.
5° a) Graphiquement, pour quelle position du point l' aire semble-t-elle minimale ?
b) Montrer que f(x)= 2(x-4)²+ 28
En déduire la valeur exacte du minimum et la position du point M correspondante.
6° Pour quelles positions du point M l' aire du quadrilatère MNPQ vaut-elle 34 cm² ?
Déterminer les solutions à l' aide du graphique puis algébriquement.
Même question pour une aire de 40 cm²
Voila ce que j' ai fais:
1°a) Aire MNPQ= A ABCD- A (AMQ + BNM + CPN +DPQ)
A MNPQ= 60-(4+8+4+8)= 60- 24= 36 cm²
b) A MNPQ= 30 cm²
2° pour que le quadrilatère MNPQ reste à l' intérieur du carré il faut que x soit supérieur ou égal à 0 et inférieur ou égal à 6 donc x € [0;6].
Pour x=0, les ABCD et MNPQ sont confondus.
Pour x=6, les points A,Q et N,C sont confondus.
3°a) Df= [0;6]
b) A MNPQ= A ABCD- A(AMQ + BNM + CPN +DPQ)
A MNPQ= 60-[x(6-x)/2 + x(6-x)/2 + x(10-x)/2 + x(10-x)/2]
A MNPQ= 60-(6x-x²+10x-x²)
A MNPQ=60-(16x-2x²)
A MNPQ= 2x²-16x+60
donc f(x)=2x²-16x+60
4° a) f(0)=60, f(1)=46, f(2)=36, f(3)= 30, f(4)=28 f(5)=30, f(6)=36
5°a) pour x=4.
b) f(x)=2x²-16x+60
f(x)=2(x²-8x)+60
f(x)=2(x²-8x+16-16)+60
f(x)=2(x²-8x+16)+60-16x2
f(x)=2(x-4)²+28
Pour que le minimum de la fonction soit atteint, il faut que 2(x-4)² soit négatif ou nul que quand on l' adittionne avec 28 ça donne un plus petit nombre.
2(x-4)² ne peut pas être négatif puisque (x-4)² est toujours positif et 2 est positif donc il faut chercher quand:
2(x-4)² =0
x-4=0
x=4
Le minimum est donc 28 atteint pour x=4.
6° Graphiquement l' aire du quadrilatère vaut 34 cm² pour x=2,5 et x=5.5.
Algébriquement:
2(x-4)²+28=34
2(x-4)²=34-28
2(x-4)²=6
(x-4)²=3
(x-4)²-3=0
(x-4+V3)(x-4-V3)=0
x=4-V3 ou x=4+V3
S={4-V3;4+V3}
Graphiquement l' aire du quadrilatère vaut 40 cm² pour x=2,3.
2(x-4)²+28=40
2(x-4)²=40-28
(x-4)²=12/2
(x-4)²-6=0
(x-4-V6)(x-4+V6)=0
x=4+V6 ou x=4-V6
4+V6 n' appartient pas à Df donc S= {4-V6}
Voila merci d' avance
Bonjour,
1) Bon
2) Pour x=0, les ABCD et MNPQ sont confondus dans cet ordre.
Pour x=6, les points N et C d'une part et Q et A d'autre part sont confondus.
3) Bon.
4)a) Bon
5)a) Bon
b)C'est bien ce que tu as fait mais les autres développeront tout simplement :
2(x-4)²+28
et trouveront : 2x²-16x+60, ce qui sera valable.
Citation :
En déduire la valeur exacte du minimum et la position du point M correspondante.
En déduire la valeur exacte du minimum et la position du point M correspondante.
Donc on a :
f(x)= 2(x-4)²+ 28=28+2(x-4)²
J'écrirais ceci :
Donc f(x) est égal à 28 auquel on ajoute un nb qui est tjrs positif ou nul si x=4 donc f(x) tjrs > à 28 ou f(x)=28 si x=4.
Donc la valeur minimale est 28 atteinte pour x=4.
Et dans ce cas AM=4 cm.
6)
Tu arives à :
(x-4)²=3
qui donne :
x-4=V3 ou x-4=-V3
x=4+V3 ou x=4-V3 : c'est un peu plus court, juste un peu.
Et ces 2 valeurs appartiennent à Df.
Même chose pour l'autre.
Tu as tout bon.
C'est bien.
A+
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