salut

première méthode :

je connais deux nombres dont les puissances ne dépendent pas de l'exposant : celles de 0 et celle de 1

deuxième méthode :

ce qui est vrai pour tout entier n est donc vrai pour n = 1 et pour n = 2
je cherche donc les points d'intersection des courbes C₁ et C₂ et je vérifie qu'ils appartiennent à toutes les courbes C_n

Bonjour,

On pourrait aussi utiliser f(x)=x-1-x/(1+x^n) en écrivant que la fonction doit être vérifiée pour x donné et deux valeurs différentes n1 et n2 de n.
Donc, en partant de
x-1-x/(1+x^n1)=x-1-x/(1+x^n2)
on obtient
x[1/(1+x^n1)-1/(1+x^n2)]=0
qui a bien deux solutions
x=0 immédiat
x=1 que l'on déduit de 1/(1+x^n1)=1/(1+x^n2).

On peut d'ailleurs avoir à l'esprit que x=-1 est une valeur interdite pour tous les n impairs, bien que cela ne joue pas de rôle ici.

Bonjour,

On peut aussi étudier la fonction g(x)=f(x)-x=0

Bonjour,