Niveau BTS

courbes de béziers : parabole,elipse,hyperbole

Posté par
cosmoff 15-12-15 à 01:27

Bonjour,

je dois obtenir une parabole, une hyperbole et une élipse a partir des courbes de beziers.

voila ou j'en suis et c'est pas terrible :
la courbe de Bézier est définie par*:
M(t) = A(1-t²) +2t(1-t)B +t²C
avec*3 points dans un plan:
A = ( a1,a2 )*
B = ( b1,b2 )
C = ( c1,c2 )
mais je ne vois pas du tout comment faire a partir de M(t) pour trouver une parabole, une hyperbole et une élipse

Pour la parabole, je doit me débrouillé en changeant A, B, C pour obtenir M(t) = a*x² +b*x + c ?
pour l'hyperbole et l'élipse je sais absolument pas quoi faire

merci de votre aide

Posté par re : courbes de béziers : parabole,elipse,hyperbole 15-12-15 à 06:45

Salut,

Tout dépend de ce que tu as vu en cours
Et je pense qu'il manque les questions précédentes pour pouvoir t'aiguiller ...

Ici, tu reconnais $B_0(t)=1-t^2$ , $B_1(t)=2t(1-t)$ et $B_2(t)=t^2$ , avec $B_0$ , $B_1$ et $B_2$ les trois premiers polynômes de Bernstein.

Ensuite, la courbe de Bézier rationnelle quadratique est définie par les points de contrôle $(A_0,A_1,A_2)$ et le poids $w$ , et correspond à l'ensemble des points $M(t) , t \in [0,1]$ , vérifiant l'équation :

$\vec{OM(t)}=\frac{B_0(t)\vec{OA_0}+B_1(t)\vec{OA_1}+B_2(t)\vec{OA_2}}{B_0(t)+wB_1(t)+B_2(t)}$

avec la condition $\forall t \in [0,1], B_0(t)+wB_1(t)+B_2(t)\neq 0$ .

C'est ce que tu as en prenant $O$ l'origine du repère.

C'est la valeur de w qui détermine la nature de l'arc de la conique propre que tu obtiens :

Si $|w|=1$ , alors la courbe de Bézier rationnelle quadratique est un arc de parabole ;
Si $|w|>1$ , alors la courbe de Bézier rationnelle quadratique est un arc d'hyperbole ;
Si $0 < |w| < 1$ , alors la courbe de Bézier rationnelle quadratique est un arc d'ellipse.

Voilà, reste à savoir où tu en es dans le cours

Posté par re : courbes de béziers : parabole,elipse,hyperbole 15-12-15 à 09:58

Tel que cosmoff présente son problème on a une application M  = (x,y) : ² , t (a₁ + 2tb₁ + t²u₁  , a₂ + 2tb₂ + t²u₂ )  où u₁  = -a₁ - b₁ + c₁ et u₂  = -a₂ - b₂ + c₂  et ilveut savoir  ce qu'est   = M() .
Il est clair que , à moins que   soit contenu dans une droite , si  on coupe   par une droite on n'aura qu'au plus 2 points d'intersection  , donc   sera une vraie conique ou la réunion de 2 droites parallèles .
De plus , à moins que u₁  , u₂ , b₁  et b₂ soient tous  nuls , ne pourra pas être une ellipse  car non bornée .

  Si  u₁  et u₂ sont non nuls aura un seul " point à l'infini " (obtenu  quand |t| ) dans la direction ( u₁ , u₂ ) . ne peut donc qu'être une droite ou la réunion de 2 droites parallèles ou une parabole .
...etc...

Posté par re : courbes de béziers : parabole,elipse,hyperbole 15-12-15 à 18:57

merci beaucoup pour ta réponse, en faite je n'ai pas de cours la dessus, mon prof d'iut a demandé de ce renseigner sur les courbes de beziers pour janvier car il ira tres vite la dessus et je trouve ca tres tres compliqué

tu m'as beaucoup aidé sur le lien entre la courbe de bézier quadratique et les différents coniques.
mais j'ai un probleme sur le lien entre courbe de beziers et les caractéristique d'une conique (foyer,l'exentricité, l'axe focale ou non focale.)
Comment a partir des 3 polynomes de Berstein tu détermines les caractériques des différentes coniques ?

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