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courbes paramétrées

Posté par
Joc57
14-10-20 à 21:38

Bonjour
     Je suis actuellement en train de voir le chapitre sur les cercles paramétrées dans la cadre de ma licence d'économie. J'ai un petit peu de mal avec cette notion mais surtout avec la méthode de mon prof car je vois que sur internet il existe des méthodes qui requièrent moins d'outils complexes.
Dans un exemple que l'on a fait en cours, on nous demande de tracer le cercle:
x: t²-2t
y: t²+1/t²
Je vais donc commencer par la méthode que j'ai trouvé sur internet et ensuite celle du prof en esperant que vous arriviez à me détailler sa démarche car il utilise des outils (équivalence,vecteurs,déterminants et développements asymptotiques) qui me sont difficiles à utiliser pour comprendre sa méthode.
A    .  J'ai commencé par le domaine de définition
]-;0[U]0;+[
B  .  Ensuite j'ai calculé la limite aux bornes de l'intervalle ce qui m'a donné:
en - : y--->+ et x aussi et comme m = pas d'asymptote Oblique
en 0 , x tend vers 0  et y tend vers + donc il y a une asymptote verticale x=0
et enfin en + les deux tendent vers +
C    . Ensuite j'ai calculé les dérivées et les points critiques qui sont {-1;1} ce qui m'a permis de dresser mon tableau de variation et de remarquer qu'il y a un point régulier en t=1 . j'ai donc calculé la pente en faisant dy/dx (1) ce qui m'a donné 2. Il y a aussi une tangente verticale en x=-1 et verticale en x =2 (propriétés M(t)). Je peux donc tracer la courbe. Le prof lui, procede de la manière suivante:

A    . domaine de définition
B     .il nous rappelle la notion d'équivalence et du polynome de laurent: lim quand t tend vers t0 de v(t)/u(t) =1 :? c'est en ce premier point que je ne comprends pas sa démarche
C     .Ensuite il cherche les dérivées et les points critiques
ensuite il pose y=x   DA (+) ou x,y tendent vers +
D    .Il fait ensuite un DL 4 (0) de (t0+h) pour x : -1+0h+h² et pour y : 2+0h+4h²-4h^3 +5h^4    et il trouve à partir de ca les deux vecteurs (1  4) et (4  0) j'ai compris qu'il s'agissait des coefficients de termes de l'équation mais pourquoi s'arreter au degré 3 alors qu'il reste 5h^4 comment choisit on les coefficients?
Je me doute que l'on fait ici un DL pour trouver les deux vecteurs et ensuite tracer le point régulier en t=1 mais comment peut-on avoir la pente de la tangente à partir de ça?

Posté par
XZ19
re : courbes paramétrées 14-10-20 à 21:49

Bonjour  
Ta courbe c'est surement pas un cercle.

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 15-10-20 à 08:50

Ton m=\infty est faux si cela concerne la direction asymptotique.

Le point de paramètre 1 n'est pas régulier mais stationnaire (ce que tu appelles critique, ce n'est pas le bon mot)! Celui de paramètre -1 est régulier : une des dérivées n'est pas nulle !

Ta limite de \dfrac{y'}{x'} en 1 me semble erronée. Connaître le coefficient directeur de la tangente ne te permet pas de préciser suffisamment la nature du point stationnaire en t=1 (rebroussement (espèce), inflexion?)
Un développement limité en 1 le permettrait ,c'est ce que fait ton prof : cela donne la tangente et la position (localement) autour de la tangente. Pour être utilisable le développement doit avoir au moins un terme non nul pour décider du positionnement.

Avec les formules données tu as la relation :
(y-2)-4(x+1)\underset{h \to 0 }{\quad=\quad}-4h^3+o(h^3) (effectivement le terme en  h^4 ne sert à rien mais on ne peut pas le savoir sans avoir fait les calculs ) et te permet de voir que la tangente a pour équation (y-2)-4(x+1)=0 (ce qui montre en passant que ton calcul de coefficient directeur ne convient pas) avec changement de position quand on change le signe de h (c'est un rebroussement de première espèce).

Il manque à ton étude celle des points multiples. Sauf erreur, les points de paramètre 1+\sqrt2,\;1-\sqrt2 sont confondus : point double.

Posté par
malou Webmaster
re : courbes paramétrées 15-10-20 à 09:27

Bonjour à tous
Joc57, le multicompte est strictement interdit sur notre site
Merci de fermer le compte juliux (la fonction mot de passe oublié existe en cas de besoin)
Dès que tu l'as fait, mets moi un mail ( [lien]) et je te redonnerai l'accès avec ton compte Joc57
Je te remercie.

malou edit > * situation régularisée, les échanges peuvent reprendre**

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 15-10-20 à 17:49

Merci malou et lusak,
Donc si j'ai bien compris pour déterminer les vecteurs on prend les termes de plus hauts degrés des équations mais il faut que les deux vecteurs aient au moins une valeur non nulle ? mais pourquoi nous nous sommes arrétés à un dl 2 pour x alors que nous aurions pu aller jusqu'a 4 ?
   de plus je n'ai pas vraiment compris d'où vous arrivez à avoir l'équation de la tangente ?

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 15-10-20 à 18:26

La fonction x est un polynome de degré 2, les termes d'ordre supérieur à 2 sont nuls, aucun besoin de les écrire.

"Prendre les termes de plus haut degré des équations " : je ne vois pas ce que cela veut dire.
Mais effectivement il vaut mieux qu'il reste un terme non nul du développement, sinon on ne peut rien dire du signe.

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 15-10-20 à 19:41

Merci j'ai compris pourquoi on s'arrête au degrés 2. mais j'ai toujours du mal à comprendre comment choisit on les deux coefficients des deux termes de chaque équation mais surtout comment déterminer l'équation de la tangente ?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 03:52

C'est la relation (y-2)-4(x+1) = -4h^3 + E(x) que j'ai du mal à comprendre

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 08:28

Tu prends les développements donnés dans ton premier message (d'ailleurs pas vérifiés mais  qui semblent corrects) et tu calcules l'expression que j'ai donnée (en supposant que tu sais comment tronquer un développement limité pour avoir l'ordre voulu) .

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 11:42

Oui mais comment calculer l'expression que vous avez donné ? Je suis perdu ça fait plusieurs jours que je suis sur cet exercice ...

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 11:49

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire comment on passe de l'expression du Dl de x et y à l'équation de la tangente ? Je et pourquoi ce -4x^3 derrière le égal ?

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 15:50

Tu as écrit :
" x : -1+0h+h² et pour y : 2+0h+4h²-4h^3 +5h^4  "
Soit, plus correctement
x(-1+h)\underset{ h\to 0}{\quad=\quad} -1+h^2=x(-1)+h^2
y(-1+h)\underset{ h\to 0}{\quad=\quad} 2+4h^2-4h^3+o(h^3)\underset{ h\to 0}{\quad=\quad} y(-1)+4h^2-4h^3+o(h^3)
Donc, en posant t=-1+h   :
x(t)-x(-1)\underset{ h\to 0}{\quad=\quad} +h^2
y(t)-y(-1)\underset{ h\to 0}{\quad=\quad} 4h^2-4h^3+o(h^3)
Et il en résulte
(y-2)-4(x+1)\underset{ h\to 0}{\quad=\quad} -4h^3+o(h^3) ce qui donne l'équation de la tangente en M(-1) et , par étude du signe de -4h^3, la position de la courbe par rapport à la tangente (ce qui compte c'est le changement de signe donc le changement de position) .

En écrivant les composantes des vecteurs :
\vec{M(-1)M(t)}=(1,4)h^2+(0,-4h^3)+(0,\varepsilon(h))
tu vois que le vecteur \vec{M(-1)M(t)} a pour limite, quand t=-1, un vecteur colinéaire à (1,4) ce qui te donne l'équation de la tangente.

Posté par
alb12
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 17:53

salut,
consultation facultative (des resultats sans justification)
merci de me signaler les bugs

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 18:23

Merci mais ca n'est pas plutôt x(1) et non x(-1) ? Qu'il faut poser ?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 16-10-20 à 18:27

Désolé mais même si je comprends mieux le choix des coefficients je ne comprends toujours pas comment on obtient le y-2 et le x+1 .. je crois que je vais passer cette matière pour ce semestre merci  quand même !

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 09:15

Non c'est bien x(-1),\;y(-1) qu'il faut utiliser ! Le paramètre de ton point stationnaire vaut [tex]-1[/tex].

Voir x=-1+...,\;y=2+... et ne pas comprendre d'où viennent x+1,\;y-2 : tu es sûr d'être réveillé ?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 12:36

C'est quoi tex? Non je ne vois pas du tout d'où  vient x(-1) alors qu'on étudie la tangente en 1...et d'ailleurs je ne vois pas non plus d'ou vient la formule x(x)-(x(-1) et pourtant j'en ai passe des heures à essayer de comprendre en regardant le cours.
Je vais laisser tomber  cette matière  .. Meme si ça risque de compromettre la licence

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 12:52

Svp .,. Je ne suis pas en licence de maths je suis en économie j'ai du mal à comprendre les étapes et pourtant je suis dessus depuis plusieurs jours. Je ne peux pas me prendre un prof de maths donc j'essaye juste de faire les exercices pour limiter la casse à cette matière aux partiels, jai déjà redoublé à cause de ca l'année dernière

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 13:13

Est-ce que cela donne h^2+4h^2= -4x^3
On garde donc les coefficients 1 et -4 et (y-2) vient du fait qu'on ramène y en 0 car on est au point y=2?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 13:30

Sinon est-ce que quelqu'un pourrait me donner un lien ou l'on explique comment peut on calculer une tangente  à deux courbes grave à un developpement limite ?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 13:38

-1

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 13:46

x(-1) n'est pas égal à -1 mais à 3, donc x(-1+h) -x(-1) ne peut pas être égal à h^2 mais à h^2 +2

Posté par
GBZM
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 16:44

Bonjour,

Le point critique où la vitesse s'annule est pour t=1, au point de coordonnées (-1,2).
Pour trouver la tangente en ce point on fait des d.l. de x et y au voisinage de 1 :
x(1+h)= -1 + h^2
y(1+h)=2+3h^2-4h^3+o(h^3)
Ça nous donne le vecteur dérivée seconde (accélération), divisé par 2, \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} qui dirige la tangente au point (-1,2) et le vecteur dérivée troisième, divisé par 6, \begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix} qui n'est pas colinéaire au vecteur accélération. On a donc un point de rebroussement de première espèce.

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 19:11

Ha donc c'est bien x(1+h) et non x(-1+h)?et pourquoi le 4 h^2 devient 3 h^2 ? D'ou viennent les coefficients 2 et 6?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 19:19

Pourquoi diviser par 2 et par 6?

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 19:23

Je ne comprends vraiment plus rien du tout je voudrais juste connaître  les étapes pour pouvoir calculer là tangente et dire la nature du point mais j'ai besoin de plus de détails pour comprendre car ce chapitre est vraiment difficile et nous avons fait que 2 exemples beaucoup de cours ont été annulé à cause des événements mais la colle devra quand même tomber bientôt ..

Posté par
GBZM
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 21:46

Joc57 @ 17-10-2020 à 19:11

pourquoi le 4 h^2 devient 3 h^2 ? D'ou viennent les coefficients 2 et 6?

1°) Parce que le 4 était une erreur.
2°) Parce que f(1+h)= f(1) +  f'(1) h + \dfrac{f''(1)}{2} h^2 + \dfrac{f^{(3)}(1)}{6} h^3 +o(h^3) .

Posté par
alb12
re : courbes paramétrées 17-10-20 à 23:16

c'est plutot le 3 qui est fautif

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 18-10-20 à 09:00

Je suis désolé de ma bévue dans le message du 17-10,09:13
Le paramètre du point stationnaire est bien 1 .
J'avais utilisé les formules données dans le premier message sans les vérifier (ce que j'avais signalé d'ailleurs) ce qui donnait un vecteur directeur de la tangente (1,4) que j'avais confirmé par la limite de \dfrac{y'}{x'}.
Mais il se trouve que ces formules sont exactes, le terme en h^4 (non vérifié) est inutile.

Posté par
GBZM
re : courbes paramétrées 18-10-20 à 11:14

Mea culpa, le 4 était bien correct en effet : la tangente au point de rebroussement est bien dirigée par le vecteur \begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}.

Posté par
alb12
re : courbes paramétrées 18-10-20 à 17:49

@Joc57
un choix fait au hasard
la courbe de ton exercice avec Xcas pour Firefox
Je te conseille cependant de telecharger XcasPC

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 18:12

Merci mais je ne comprends toujours pas comment avec ces résultats on peut avoir la tangente.. ni connaître la nature du point stationnaire

Posté par
GBZM
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 20:04



 \\ \vec{M(1)M(1+h)} = h^2\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix} + o(h^2)
  ce qui fait que la limite de la droite (M(1)M(1+h)) quand h tend vers 0 est la droite dirigée par le vecteur \begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}

Posté par
GBZM
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 20:05

Décidément, je tiens à mon 3. Il faut lire \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}.

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 21:11

Svp vous voyez bien que ça fait des jours que je suis sur cet exercice je ne demande pas qu'on me lâché le travail mais juste me détailler un peu comment vous faite.  Pourquoi choisir le terme de second degré ? Que fait on du h ^3 ? Et comment avec ce vecteur on finit par tomber sur 4x+6 je vous en prie j'ai la colle la semaine prochaine j'ai passé plusieurs nuit dessus ..

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 22:01


Je ne maîtrise pas bien la notion de vecteur j'ai regardé des cours sur internet et des vidéos mais je n'arrive toujours pas  

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 22:30

J'ai trouvé la formule y'(to)(x-x(to)) - x'(to)(y-y(to)) mais ça ne colle pas ..

Posté par
GBZM
re : courbes paramétrées 19-10-20 à 23:16

Il faut voir les choses en face : l'étude des points singuliers des courbes paramétrées n'est pas une chose évidente, et tu sembles avoir pas mal de lacunes. Il faudrait reprendre un cours sur le sujet (alb12 t'a donné un lien).

D'un autre côté, l'utilité de ce genre de choses pour une licence d'économie me semble assez limité ...

Pour ce qui est de la tangente, puisque c'est la tangente au point  (-1,2) et qu'elle a \begin{pmatrix} 1\\ 4\end{pmatrix} comme vecteur directeur, son équation est y-2 = 4(x+1).

Posté par
Joc57
re : courbes paramétrées 21-10-20 à 20:25

Merci je vais essayer de faire avec le jour de la colle
Oui effectivement et en plus je n'ai jamais vraiment réussi à me familiariser avec la notion de vecteur, depuis le lycée.
Juste une dernière question, comment à partir de -4h^3 on peut savoir que c'est un rebroussement de première espèce ?
Et si jamais dans le le vecteur de degrés 3 était par exemple (2;4) : 2h^3 -4h^3 ?

Posté par
luzak
re : courbes paramétrées 22-10-20 à 10:10

Je répons d'abord à ta question sur "première espèce" .
Je t'ai donné l'astuce : regarder le changement de signe (ou pas) de y(t)-2-4(1+x(t)).
Tu peux ainsi savoir si les points (selon le signe de h) sont du même côté de la tangente ou pas.
Tu n'aurais pas 2h^3-4h^3 pour un vecteur (2,4) mais 4h^3-4(2h^3) et le changement de signe avec h reste évident.
En revanche si le vecteur dérivée d'ordre 3 est nul mais  le vecteur d'ordre 4 non colinéaire au vecteur tangent, disons (a,b), tu aurais en faisant le calcul y-2-4(x+1) le terme (b-4a)h^4 avec un coefficient non nul.
Dans ce cas il n'y a pas changement de position des points par rapport à la tangente, ce serait un rebroussement de deuxième espèce.

.........................
Maintenant, pour ce qui est du rebroussement il faut revoir le document  proposé par alb12 : la décision vient de la recherche du premier ordre p\in\N^* où la dérivée est non nulle. Il y a rebroussement lorsque p est pair.

Et le premier ordre q où la dérivée n'est pas colinéaire au vecteur tangent donne le changement éventuel de position.

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