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Cours espace vectoriel normé
Bonjour jai une petite question sur mon cours de maths,
Pour montrer un contre exemple du theorème de bolzano-W (dans un ev de dim finie toute suiste possède des valeurs d'adhérence) en dimension infinie je ne comprends pas, ce qui provient de la dimension infinie, qui fait échouer tout ça :
Dans E = C([0,2pi],C), muni de la norme infinie
on pose fn(x) = e^(inx)
On montre que pour tout p, q (distincts) on a norme infie de fp-fq vaut toujours 2.
Puis si il existait Phi strictement croissante tq (f_Phi(n) ) convergeait on aurait :
2 = ||f_(Phi(n+1)) - f_Phi(n) || qui tend vers 0
Donc 2 = 0 absurde
Je comprends tout ce qui est fait, mais qu'est qui vient de la dimension infinie qui ne marche pas ici ?
Et on a aussi dit pour tout ev E de dim finie, E est muni d'une norme.
Cela vient il du fait que E est muni d'une base et qu'alors max(xi) est une norme sur E ?
Merci beaucoup pour ces précisions
Bonjour
Réponse pragmatique!
La sphère unité d'un EVN est compacte si et seulement si celui-ci est de dimension finie.
En dimension finie, il n'y a pas "assez" de place pour une suite dont les termes sont à distance minorée par un réel strictement positif.
C'est un peu la situation dans un intervalle de .
BW marche si et seulement il est fermé borné, c'est à dire compact.
Bonjour merci pour votre réponse,
Malheureusement je n'ai pas encore vu la notion de compact(meme si cela veut dire fermé et borné je crois) !
Mais pouvez m'expliquer ce qui provient de la dimension infinie qui fait dysfonctionner tout ca dans cet exemple précisément
Merci encore
Le critère fermé borné marche dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie mais pas en dimension infinie justement 
Un espace compact est
* un espace séparé (si tu as deux points distincts tu peux mettre une petite boule autour de chaque point et les deux boules ne se touchent pas)
* tel que tout recouvrement ouvert a un sous-recouvrement fini, c'est à dire que si où les
sont une famille d'ouverts de E, alors il existe
un ensemble fini tel que
Dans le cas des espaces métriques, il y a des caractérisations en termes de suites (Bolzano-Weierestrass) mais aussi une caractérisation moins connue qui dit qu'un espace métrique est compact si et seulement s'il est complet ET précompact. La précompacité est donc la seule différence entre complétude et compacité.
La précompacité signifie que pour tout ϵ > 0, il est possible de recouvrir E par un nombre fini (dépendant de &varepsilon
de boules de rayon (au plus) ϵ.
Mais il se trouve qu'il existe une caractérisation de la précompacité : "toute suite possède une sous-suite de Cauchy".
Il y a deux différences avec Bolzano-Weierstrass : on n'exige pas que la suite soit bornée et la sous-suite est seulement de Cauchy, pas forcément convergente. Evidemment, dans un espace complet les suites de Cauchy sont exactement les suites convergentes, donc la seconde différence disparait. Tu peux noter qu'un espace précompact est automatiquement borné, donc tout compact est automatiquement borné, en plus d'être fermé (parce que complet). Mais la réciproque est fausse !
Si on revient à ton exercice, il s'agit exactement de cela. La complétude d'un espace vectoriel est automatique en dimension finie, donc il faut forcément passer en dimension infinie pour observer quelque chose d'intéressant.
Cependant, je te le dis, C(K, C) est toujours un espace complet si K est compact, mais il n'est pas borné pour la norme infini car il existe des fonctions continues de norme aussi grande que tu veux (fonctions constantes par exemple), donc il n'a aucune chance d'être compact. Ni précompact d'ailleurs. Donc il existe une suite qui n'a pas de sous-suite de Cauchy.
Et la suite, on te la donne explicitement 
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