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Critère de Cauchy

Posté par
toureissa 27-05-18 à 11:27

Bonjour,

J'ai  beaucoup  de doute sur mes réponses. Et j'ai  besoin de  votre aide.

Utiliser  le critère de Cauchy pour déterminer  la convergence des séries suivantes:

a) \sum{\frac{n^{\ln(n)}}{(\ln(n))^n}}


b) \sum{(\frac{n+3}{2n+1})^{n(-1)^{n}}}

Pour le a) je pose u_n le terme général.

On a \sqrt[n]{u_n}=\frac{n^{\frac{\ln(n)}{n}}}{\ln(n)}\rightarrow  0 \leq 1 donc la série  converge.

b) \sqrt[n]{u_n} \; \textup{diverge}  donc la série diverge.

Posté par
luzakre : Critère de Cauchy 27-05-18 à 12:55

Bonjour !
Ce que tu appelles "le critère de Cauchy" ce n'est pas ça!
Un "critère" devrait être une condition nécessaire et suffisante : ce que tu veux utilliser est une "condition suffisante " (de Cauchy, si tu y tiens).

a) Première condition : vérifier que la suite est à termes de signe constant à partir d'un certain rang.
Alors tu as bien \sqrt[n]{u_n}=\dfrac1{\ln(n)}n^{\frac{\ln n}n} mais ta limite nulle doit être justifiée.

b) La divergence de la suite n\mapsto\sqrt[n]{u_n} doit être justifiée.

Posté par
toureissare : Critère de Cauchy 27-05-18 à 13:16

Comme \frac{\ln(n))}{n} \rightarrow 0

donc :
n^{\frac{\ln(n)}{n} } \rightarrow \textup{un réel }

donc \frac{1}{\ln(n)}n^{\frac{\ln(n)}{n} } \rightarrow 0


b)  \sqrt[n]{u_n}=e^{(-1)^n \ln(\frac{n+3}{2n+1})}

\ln(\frac{n+3}{2n+1}) \rightarrow \ln(\frac{1}{2}) \neq 0

\textup{donc :}\; (-1)^n \ln(\frac{n+3}{2n+1})\; \textup{diverge}

Posté par
luzakre : Critère de Cauchy 27-05-18 à 14:45

a) Il n'est pas établi que la limite nulle de n\mapsto a_n implique une limite réelle finie pour n\mapsto n^{a_n}.

Par exemple a_n=\dfrac1{\ln(\ln n)}

b) La divergence de la suite n\mapsto\sqrt[n]{u_n} ne t'apporte rien puisque tu utilises une conditions suffisante.
Il est facile de trouver des cas où la série \sum u_n est convergente et la suite n\mapsto\sqrt[n]{u_n} divergente :
par exemple, u_{2n}=\dfrac1{2^{2n}},\;u_{2n+1}=\dfrac1{3^{2n+1}}

Posté par
toureissare : Critère de Cauchy 13-06-18 à 18:21

luzak @ 27-05-2018 à 12:55

Bonjour !
Ce que tu appelles "le critère de Cauchy" ce n'est pas ça!
Un "critère" devrait être une condition nécessaire et suffisante : ce que tu veux utilliser est une "condition suffisante " (de Cauchy, si tu y tiens).

a) Première condition : vérifier que la suite est à termes de signe constant à partir d'un certain rang.
Alors tu as bien \sqrt[n]{u_n}=\dfrac1{\ln(n)}n^{\frac{\ln n}n} mais ta limite nulle doit être justifiée.

b) La divergence de la suite n\mapsto\sqrt[n]{u_n} doit être justifiée.


Bonjour,

Excusez-moi  pour ce retard.  

L'exercice  me demande d'utiliser le critère  de Cauchy et moi je ne connaît que ça ,  pouvez-vous  me donner ce critère ?

Posté par
carpediemre : Critère de Cauchy 13-06-18 à 19:57

et quel est le critère de Cauchy que tu connais ?

Posté par
toureissare : Critère de Cauchy 14-06-18 à 19:25

Bonsoir,
Je ne connais pas un critère de Cauchy , mais comme dit luzak une condition suffisante de Cauchy qui dit que lorsque la racine  nième du terme général de la série tend vers l:
Si l<1 la série converge .

Si l>1 la série diverge .
Si l=1 on ne peut rien dire.

Posté par
mousse42re : Critère de Cauchy 14-06-18 à 20:25

Bonjour,

J'imagine que tu le sais déjà, mais juste pour info :

Le critère de Cauchy :

La série \sum u_n est convergente si et seulement si :
\\ \forall \varepsilon>0, \exists n_0\in \mathbb{N} tels que  \forall n\ge n_0, \forall p\in \mathbb{N}, \;\;\left|\sum_{k=n}^{n+p} u_k\right|\le\varepsilon

La règle de Cauchy :

C'est ce que tu viens d'énoncer

Posté par
larrechre : Critère de Cauchy 14-06-18 à 21:23

Bonsoir,

Noter qu'il faut considérer la valeur de limsup\sqrt[n]{u_n}

Posté par
mousse42re : Critère de Cauchy 14-06-18 à 22:33

Bonsoir,
pour le a) je trouve  : \sqrt[n]{u_n}\underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{\ln n} ... ça reste à vérifier

Posté par
toureissare : Critère de Cauchy 15-06-18 à 00:12

X=n^{\frac{\ln(n)}{n}}

\ln(X)=(\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}})^2 qui tend vers 0 , donc X tend vers 1.

C'est bon?

Posté par
luzakre : Critère de Cauchy 15-06-18 à 08:16

Cette réponse partielle ne peut donner lieu à une appréciation ! Que vient faire X dans ton exercice ?
Tu devrais réécrire  la totalité de tes calculs (ne serait-ce qu'un résumé) et donner la conclusion.

Dans le cas b) tu as deux valeurs d'adhérence pour \sqrt[n]{u_n} et la condition suffisante de Cauchy (même sans utiliser la forme améliorée proposée par larrech ) permet de conclure.

Posté par
toureissare : Critère de Cauchy 15-06-18 à 09:35

Bonjour,

a)
\frac{\sqrt[n]{u_n}}{\frac{1}{\ln n}}=X \rightarrow 1
Donc:

\sqrt[n]{u_n} ~ \frac{1}{\ln n}\rightarrow 0<1 la série converge donc.

b)

Sup \sqrt[n]{u_n}=\frac{2n+1}{n+3}

\lim {Sup \sqrt[n]{u_n}}=\lim {\frac{2n+1}{n+3}}=2>1

La diverge donc.

Posté par
luzakre : Critère de Cauchy 15-06-18 à 14:58

Sup \sqrt[n]{u_n}=\frac{2n+1}{n+3}
Une borne supérieure qui dépend de n ?

Je crois que tu confonds \limsup d'une suite et limite de la borne supérieure (qui, pour une suite donnée, est constante par rapport à n).
Si tu ne connais pas la notion de \limsup, ce qui est acceptable (je ne connais pas les programmes de licence 1, mais c'est une notion un peu pointue à ce niveau), il ne faut pas inventer.

Le plus simple ici, en ignorant la notion de \limsup , consiste à noter qu'une valeur d'adhérence de n\mapsto\sqrt[n]{u_n} est obtenue pour les termes de rang impair et vaut 2.
Par conséquent il y a une infinité de termes de la suite vérifiant \sqrt[n]{u_n}>\dfrac32 (je mets ce nombre mais tout nombre de ]1,2[ conviendrait) de sorte qu'il y a une infinité de termes supérieurs à 1 : la série est grossièrement divergente.

Posté par
carpediemre : Critère de Cauchy 15-06-18 à 16:59

ce n'est pas (2n + 1)/(n + 3) mais l'inverse ...

Posté par
luzakre : Critère de Cauchy 15-06-18 à 18:03

Bonsoir carpediem
L'exposant contient un (-1)^n donc, pour les termes d'indice impair, il faut prendre l'inverse.

Posté par
carpediemre : Critère de Cauchy 15-06-18 à 18:11

ha pardon ...

merci

Posté par
toureissare : Critère de Cauchy 16-06-18 à 09:55

Merci à vous j'ai compris bien ce que vous dites.


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