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critère de convergence normale.
Bonjour tout le monde,
Je voulais savoir si je pouvais conclure à la convergence normale à partir de ces hypothèses:
soit Un:I->IR n>=IN
pour tout x dans I
pour tout n assez grand, n>
|Un(x)|<= Vn
et converge
Donc converge normalement sur I
Il me semble que si la majoration est vraie à partir d'un certain n, on peut conclure qu'il y a convergence normale.
Il me semble que si
converge alors la somme en partant de n=0 converge aussi.
Est-ce que c'est vrai ou est-ce qu'il y a des subtilités qui m'ont échapées?
Bonjour letonio 
Dans le cas général, les séries :
et
sont de même natures.
Puisque si tu considère leurs somme partielles respectives :
et
Pour tout n supérieur à n0, on a :
Donc (Sn) converge <=> (Tn) converge
Donc l'équivalence sur la convergence des séries.
Sauf erreurs ... 
Romain
Merci bien à tous les deux.
Dans le cas général des séries, je vois bien comment ça fonctionne, mais je me demandais jsute s'il n'y avait pas une petite subtilité pour les séries de fonctions.
Avec les sup, je me méfie...
Si dans le cas général, tu vois bien comment cela fonctionne, il te suffit de prendre dans ma démo :
Donc ton raisonnnement est correct
Je me demandais en fait s'il ne pouvait pas y avoir un certain nO tel que par exemple
||UnO||oo tende vers l'infini, auquel cas la somme de 0 à n0 n'est pas convergente.
Je ne suis pas très clair.
Ce que je veux dire c'est que je n'arrive pas à me convaincre, en reprenant ton exemple, qu'il ne peut pas y avoir un certain k< n0-1 tel que
||uk||00 soit infini ...
disons par exemple
Un:[3;4[->IR
x-> 1/(n^2-x) n dans IN
pour tout n>2 il n'y a pas de problème, et il y a convergence normale.
Mais en n=2?
mais si j'étudie la convergence de
Est-ce qu'il n'y a pas un problème pour
pour moi |U2(x)| est infini et donc
ne converge pas
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