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Niveau terminale
Critère de divisibilité par 3
Posté par babeth107
Bonjour à tous ! 
Je travaille sur un DM pendant les vacances et j'ai pas mal de difficultés sur cet exercice.
1. Soit abc un entier naturel écrit en base 10, c'est-à-dire abc = a * 10² + b*10 + c
a. Démontrer que abc = a + b + c [3]
b. Donner une condition nécessaire et suffisante de divisibilité par 3 de abc.
2. a. Exprimer A en fonction de a0, a1, ...; an et des puissances de 10.
b. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de 10^n par 3
c. En déduire une condition et suffisante de divisibilité par 3
1. je ne sais pas comment trouver
b. je pense que c'est : abc est divisible par 3 si la somme a,b,c composant son écriture en base 10 sont divisible par 3 ?
Pour la 2 j'ai trouvé :
a. A = an * 10^n + a(n-1) * 10^(n-1) + ... + a1 *10 + a0
b. On effectue tout d'abord la division euclidienne de 10 par 3. Le quotient est 3et le reste est 1.
1^n = 1. je ne sais pas comment continuer ?
c. j'imagine que la conclusion est : Un nombre N est divisible par 3 si la somme des chiffres composant son écriture en base 10
est divisible par 3.
Merci d'avance
salut
puisque le sujet utilise les congruences calcule les restes des divisons euclidiennes de 1, 10, 100, 1000, ... par 3 ... (voir question 2b/)
mais on peut faire beaucoup plus simple encore ...
pardon pardon !
a b et c sont congrus modulos car ont le même reste dans la division par 3 et par théorie on a la compatibilité avec l'addition
est-ce bien cela?
abc=3*33a + a + 3*3b +b + c =a+b+c+ 3* k
avec k= 33a+3b
Donc abc= a+b+c + un multiple de 3
donc abc = a + b + c [3]
Oui... tu as recopié mon message en bouchant les trous. Tu es convaincu que c'est suffisant comme argument ?
Parce que l'accouchement a été si long que j'ai des doutes.
J'avoue que j'avais du mal à conclure car la question n'était pas claire pour moi. merci pour les explications
Pour la b. est-ce juste si je dis abc est divisible par 3 si la somme a,b,c composant son écriture en base 10 sont divisible par 3 ?
La question b) parle de condition nécessaire et suffisante.
Et toi , dans ta réponse, tu as le mot 'si'.
Quand on parle de condition nécessaire et suffisante, on ne devrait pas avoir 'si' mais ... ...
babeth107 @ 26-10-2022 à 21:43
abc=3*33a + a + 3*3b +b + c =a+b+c+ 3* k
avec k= 33a+3b
Donc abc= a+b+c + un multiple de 3
donc abc = a + b + c [3]
il est inutile d'introduire un k ...
abc=3*33a + a + 3*3b +b + c =a+b+c+ 3* k
avec k= 33a+3b
Donc abc= a+b+c + un multiple de 3
donc abc = a + b + c [3]
je t'avais proposé une notation simple et naturelle pour éviter ces barres ...
carpediem @ 26-10-2022 à 21:29
 + a + b + c)
ensuite le cours permet de conclure :
la différence des nombres m et a + b + c est multiple de 3 donc par définition ces nombres sont congrus modulo 3
soit
Pour la b. si je récapitule est-ce juste si je dis abc est divisible par 3 si et seulement si la somme a,b,c composant son écriture en base 10 sont divisible par 3 ?
babeth107 @ 27-10-2022 à 13:43
Pour la b. si je récapitule est-ce juste si je dis abc est divisible par 3 si et seulement si la somme a + b + c de ses chiffres est divisible par 3 ?
Pour la b. si je récapitule est-ce juste si je dis abc est divisible par 3 si et seulement si la somme a + b + c de ses chiffres est divisible par 3 ?
Merci carpediem.
Pour la question 2, je pense avoir trouvé le a)
a. A = an * 10^n + a(n-1) * 10^(n-1) + ... + a1 *10 + a0
b. On effectue tout d'abord la division euclidienne de 10 par 3. Le quotient est 3et le reste est 1.
1^n = 1.
Je pense commencer comme cela?
A = an * 10^n + a(n-1) * 10^(n-1) + ... + a2*10²+ a1 *10 + a0
= 3*3333...3an +an + ... + 3*33a2 + a2 + 3*3a1+a1 + a0
= (an+...+a2+a1+a0) + 3*(333...3an + ...+ 33a2 + 3a1)
Oui, c'est la bonne piste... il faudrait juste une phrase en français en plus pour que ça soit acceptable.
Cet exercice, c'est la justification théorique d'un truc qui était très connu par les enfants dès 10ans il y a quelques années. Et ce truc s'appelle la preuve par 3, ou une variante, la preuve par 9.
Si tu recherches ces 2 expressions sur internet, tu trouveras des explications, des vidéos, des démonstrations.
Attention, ne pas confondre la preuve par 3 et la règle de 3.
c'est bon mais tu pourrais (et devrais d'après l'énoncé) travailler avec les congruences à 15h56 vu les questions 1a/ et 2b/
babeth107 @ 27-10-2022 à 14:12
b. On effectue tout d'abord la division euclidienne de 10 par 3. Le quotient est 3et le reste est 1.
1^n = 1. ça c'est une tautologie qui ne fait pas avancer le schmilblick
l'important c'est que :
b. On effectue tout d'abord la division euclidienne de 10 par 3. Le quotient est 3et le reste est 1.
1^n = 1. ça c'est une tautologie qui ne fait pas avancer le schmilblick
10 = 3 * 3 + 1 donc
et que se passe-t-il si on élève à la puissance n ?
merci beaucoup !
la dernière question sera donc :
Un nombre N est divisible par 3 si est seulement la somme des chiffres composant son écriture en base 10 est divisible par 3 ?