(question d'arithmétique dans N)

Bonjour,

je pense qu'il a plusieurs méthodes.

En voici une avec démo

Pour la divisibilité par 7, je préfère ce critère :
je note mcdu un nombre (m= le nombre de milliers, c=le nombre de centaines, d=le nombre de dizaines et u le nombre d'unités)
Donc mcdu = 1000m +100c +10d+ u
=(1001-1)m +(98+2)c +(7+3)d + u

J'ai fait apparaître 3 nombres 1001, 98 et 7, qui sont tous les 3 des multiples de 7.
Donc mcdu = 7*(143m+14c+d) + (-m+2c+3d+u)
Le nombre mcdu est divisible par 7 ssi le nombre -m+2c+3d+u est divisible par 7.
Et évidemment, on peut étendre à des nombres aussi grands qu'on veut.
Les coefficients à utiliser sont (en partant du chiffre des unités) :1, 3, 2, -1, -3, -2 , 1, 3, 2  etc etc, ça boucle

123456789 est-il divisible par 7 ? (9+3*8+2*7)-(6+3*5+2*4)+(3+3*2+2*1)
=47-29+11=29
Qui n'est pas divisible par 7,on obtient 1 de trop (29 ne convient pas, mais 28 aurait convenu).
Donc 123456788 est divisible par 7.

Non seulement on voit si le nombre de départ est divisible par 7, mais on voit combien il faut retrancher ou ajouter pour avoir un multiple de 7 voisin du nombre de départ.

Merci Pirho.

salut

on peut même sur le même principe "accélérer" le critère :

si n = 100p + q alors sachant que 100 = 98 + 2 on en déduit que :

n est multiple de 7 si et seulement si p + 4q est multiple de 7

PS : et comme dans la démonstration donnée en lien il n'est même pas nécessaire que q soit le nombre d'unités (en d'autres termes q peut même être supérieur à n ... mais bon ça n'a guère d'intérêt puisque l'objectif est de diminuer la taille de n dans le cadre d'un test algorithmique)

Bonjour à tous,