Salut,
C'est très fortement non trivial.
Tu devrais commencer par regarder ce qui se passe sur les rationnels et passer ensuite aux irrationnels.

je cherche sur les rationnels, pour l'instant je trouve pas encore de piste, je cherche avec la défintion en termes d'epsilon de la continuité, j'espère que je ne m'égare pas trop?

Raah, quelle galère!
Je prends .

Soit , donc .

Par hypotèse, on a .

... là je vois pas comment arriver à l'inégalité :



:?

à partir de l'inégalité je trouves par récurrence, la relation

Pour tout entier , .

Peut être à exploiter...

Bonsoir,

Il me semble qu'un raisonnement par dichotomie pourrait
être utile. On coupe en deux jusqu'à s'approcher du point
que l'on recherche...

Bonjour.
Une dichotomie?
je suppose alors que l'on fixe , puis on prend alors comme intervalle de départ [f(x),f(y)] et on cherche , si j ai bien compris.

Bonsoir (si l'on peut dire)

Je pense qu'il vaut finalement mieux raisonner par l'absurde.

Dans ce cas, il existe un point z de f qui soit au dessus de la corde reliant f(x) à f(y): f(ax+(1-a)y)>af(x)+(1-a)f(y)
Grace a la continuité de f, on peut trouver un plus petit intervalle
contenant z pour lequel f reste au dessus de cette même corde.
Faites alors agir le théorème des valeurs intermédiaires aux bornes
de cet intervalle minimal ainsi que l'hypothése sur f:
il doit apparaître une contradiction avec le fait qu'il est minimal.

C'est difficile à écrire, mais on peut imaginer graphiquement ce qui
se passe. Il faut commencer comme ça...

Bon courage

Bonsoir vendredi,

en fait déjà je vois mal comment formaliser cela (je suis vraiment mal barré ) :

Alors je suppose qu il existe tel que .

Posons .

Comme f est continue, il existe tel que pour tout , on a .

Donc pour tout , .    

Et donc là si je comprends bien il faut que j'utilise le théorème des valeurs intermédiaires sur avec l'inégalité de départ.

Bonjour,
Donc j applique l'hypothèse de départ sur ,
j'obtiens alors .

Ensuite j'applique le théorème des valeurs intermédiaires et j'en déduis qu'il existe tel que
.

Et donc avec ça je dois aboutir à une contradiction

Bonjour romu,

Une indication: utilise la fonction .

(toujours dans l'idée de la démonstration par l'absurde)

Que représente-t'elle ?
Quand s'annulle-t'elle ?
Existe-t'il un plus petit intervalle contenant z sur lequel cette
fonction reste positive ?
Comment faire alors agir le théorème des valeurs intermédiaires
sur cet intervalle pour aboutir a la contradiction:
               ce n'est pas le plus petit intervalle

Bonjour vendredi,
donc je récapitule parce que je commence à être un peu paumé.

D'abord la fonction h représente la corde reliant les points .

Elle s'annule dans un premier temps aux valeurs , puis aux valeurs de telles que
(ie quand la corde [M(x),M(y)] traverse le graphe de f).

Ensuite, en raisonnant par l'absurde, on suppose qu'il existe , avec
tel que f(z) = f(ax+(1-a)y) > af(x)+(1-a)f(y), ie h(a)>0.

A partir de là je choisis les réels les plus proches de z respectant les conditions suivantes:

on pose:
,
.

h(u) > 0, et h(v) > 0, .

Ces deux réels existe par l'hypothèse de continuité de f sur I.

J'espère que pour l'instant je suis sur la bonne voie.
Donc si je n'oublie rien, il ne manque plus que cette étape à développer:

Pardon la fonction h représente la différence des ordonnées entre la corde qui relie les points M(x), M(y) et le graphe de f.

C'est l

Ensuite d'après l'inéalité de départ, j'ai   et d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe
tel que .

Donc, là je pense qu il faut que je montre que l'un des deux intervalles : ou   respectent les conditions précédentes, d'où la contradiction.

Pardon ! C'est parti tout seul...

C'est la bonne voie, et c'est très bien rédigé.

Mais tu dois prendre h(u)=0 et h(v)=0.
(on se trouve aux bords de [,], le plus petit intervalle suspecté)

NB: tu n'as pas montré l'existence de cet (hypothétique) plus petit intervalle NON REDUIT A UN POINT.
Que peux-tu dire de l'ensemble des zéros de la fonction h ?

  

Heu, je viens de lire ton dernier post.
Tiens compte du mien de 13:27, ca te simplifiera les choses...
(C'est presque fini!)

Je m'absente.
(Il ne fait pas beau a Montpellier...)
A bientot.

hahaha c'est mon exo de colle...
L'idée c'est d'utiliser la densité de l'ensemble diadique dans [0,1]

ok.
Déjà je pense que je devrais traiter en trois cas différents:
_ z = x
_ z = y
_

_ si z = x ou z = y, cela correspond au cas ou a = 1 ou a = 0, ie h(a) = 0, ce qui est contradictoire avec le fait que h(a) > 0.

_ si , on peut donc choisir tels que les conditions énoncées plus haut et l'inégalité suivante sont respectés : .
Au pire des cas si on ne trouve pas  ces , les valeurs x,y feront l'affaire.
Ceci doit justifier l'existence de cet intervalle non réduit à un point.

Je regarde à quoi ressemble l'ensemble des zéros maintenant.

Effectivement vendredi, ce n'est pas un temps à sortir .

hatimy >> oui, j'ai en effet vu une démo avec les fractions dyadiques dans un bouquin de C. Houzel, où apparemment ils sont exploités pour montrer la croissance du quotient différentiel de f en tout point de x. Je pense l'étudier après avoir fini cet exo et je poserai surement un post du genre "aidez-moi à montrer la densité de l'ensemble dyadique dans [0,1]" :)

pardon pour le dernier cas de mon post de 14:42 on peut choisir .

euh, pour l'instant, tout ce que je vois, c'est que d'apres l'hypothèse de départ on a . équivaut à dire que . Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires h s'annule au moins une fois dans [0,1]. Bon ça a pas l'air d'avoir beaucoup de débouchés.

Si j'ai bien compris il faut que j'arrive au fait que , pour tout .

Aïe aïe aïe! je crois que je m'embrouille, bon je pars au boulot, je reprendrai ce soir à tête reposée.

hmmmmm pour la densité des fractions diadiques, je pense qu'on pourrait utiliser le fait que la limite des 1/2^n est 0, et donc en revenant à la définition de la limite on conclut avec des manipulations élémentaires !

Donc sur l'ensemble des zéros de h, jen'ai trouvé aucun renseignement de plus.

Sinon, d'après le théorème des valeurs intermédiaires et le fait que est le plus petit intervalle contenant z ne s'annulant pas sur , on en déduit que h est > 0 sur .
Donc pour montrer que c'est absurde si je comprends bien, il faut que j'arrive à choper une valeur de h dans , pour laquelle h s'annule.

mais je vois pas du tout comment on peut choper ce zéro qui résoudrait le problème. Dois-je exploiter l'inégalité de départ?

l'inégalité de départ nous informe à priori que mais le problème c'est qu'on ne sait pas si 1/2 appartient à .

Sinon on peut en tirer que ,

et d'autre part .

Et on a aussi donc .

Et avec ça, je devrai en tirer une contradiction.

Bonjour vendredi,

bon apparemment ces deux inégalités mènent pas tres loin,
je vais chercher autre chose.

raah j'arrive pas à passer de f à h.

Bon... peut-être il aurait fallu dès le départ prendre d'autres
notations. C'est ma faute.

Considère la fonction g(t)=f(t)-corde(t), où corde est la fonction
affine qui relie (x,f(x)) à (y,f(y)).
C'est donc juste un changement de notation.

Tu as montré (par l'absurde) qu'il existait un plus petit intervalle
],[ contenant z, et sur lequel cette fonction était positive.
Avec g()=g()=0.

Bon. La, ca va mieux, non ?

g((+)/2)(g()+g())/2=0    (corde  est affine, donc ça marche...)  
Mais g(z)>0...

Ainsi...

D'accord donc

_ si ,
d'apres le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que c < z < d et g(c) = g(d) = 0,
il y a donc contradiction.

_ On raisonne de même pour , pour retomber sur une contradiction.

Donc quelque soient x,y dans I, pour tout tel que z = ax + (1-a)y avec , on a ,

ie .

Autrement dit f est convexe sur I.

Normalementc'est bon cette fois. Je vais pouvoir le rédiger afin de me l'imprimer définitivement dans la tête.
Merci pour ton aide et ta patience Vendredi.

De rien !

Bonne continuation.