Bonjour.

La série doit à être à termes positifs (ou de signe constant) à partir d'un certain rang.

Salut Arkhnor !

Y a une remarque sur mon livre qui dit (en parlant de la règle de D'alembert) :

Comme la règle de Cauchy, et même encore de façon plus voyante, la règle de D'alembert n'est pas une panacée.
Elle ne s'applique nullement à la série où si n est pair et si n est impair.
Cette série converge, et pourtant

Peux-tu m'expliquer stp

L'énoncé exact du critère de d'Alembert est :

Citation :
Critère de d'Alembert:

Soit une série à termes positifs.

S'il existe une constante telle que pour tout , , alors la série converge.
Si pour tout , , alors la série diverge.

sauf erreur

J'ai inversé les cas pairs et impairs pour le quotient

Ca marche

Merci Arkhnor

De rien

D'ailleurs, j'en profite pour rajouter un détail, au cas où.
Lorsque le quotient tend vers 1, on dit souvent qu'on ne peux pas conclure.
C'est en partie faux.

Lorsque le quotient tend vers 1, mais par valeurs supérieures, on se retrouve bien dans le cas de la divergence.
Par contre, s'il tend vers 1 par valeurs inférieures, ou d'une autre façon, on ne peut pas conclure.

Il est temps que je ré-atterrisse

Pour l'exemple que tu as cité, on a :



Ca ne change rien à la méthode, mais quand même

Salut

EN fait je n'ai jamais vu ce type de série en prépa !

Quand tu dis que le quotient diverge, comment le justifies-tu ?

Car pour les n pairs il y a convergence et pour les n impairs il y a divergence ?

MErci

Salut !

C'est suffisant pour qu'une suite diverge.
Si une des sous-suites diverge vers l'infini, alors la suite diverge elle-aussi.

Je prend l'exemple de
Pour les n pairs, il y a convergence vers 1, et pour n impair, vers -1.
Or, cette suite est clairement divergente.

En fait, 1 et -1 sont des valeurs d'adhèrence de cette suite.
(on dit d'une valeur l qu'elle est valeur d'adhèrence d'une suite, s'il existe une sous-suite extraite qui converge vers l)

Si une suite est convergente, elle admet une unique valeur d'adhèrence, sa limite, mais la réciproque est fausse, une suite peut n'avoir qu'une seule valeur d'adhèrence, et diverger.
C'est le cas du quotient défini dans l'exemple de Monrow

En fait, y a une propriété qui dit que si une suite est convergente alors tous ses sous-suites convergent vers la même limite.

En utilisant la transposée, on a le résultat qu'a utilisé Arkhnor

Tout à fait.
C'est ce que j'ai dit quand je parlais des valeurs d'adhérence, il n'y en a qu'une seule pour une suite convergente.

ah oui désolé ! J'ai lu en diagonale que les deux premières lignes !

Pour moi ces deux critères sont à bannir de l'enseignement : ce sont des recettes de cuisine qui ne font en rien comprendre la notion de convergence .

Bien entendu ça peut par contre faire un joli exercice de TD de les démontrer.

Pas d'accord avec lolo217 sur le banissement
car si ce sont des recettes de cuisine qui ne font en rien comprendre la notion de convergence
ces recettes peuvent être très urtile pour les gens très nombreux qui utilisent les applications des mathématiques et qui veulent juste savoir si ça converge ou pas.

il faut juste leur signaler les dangers de ces recettes si elles sont mal cuisinées !

apaugam>> je veux bien savoir tous les dangers de ces recettes si elles sont mal cuisinées !

Pour éviter les erreurs il vaut mieux se limiter aux séries à termes positifs.
Inutile de chercher à retenir les énoncés un peu plus généraux
et revenir plutôt à la convergence absolue (on est ramené à des séries à termes positifs).
On peut alors aussi utiliser des  majorations par des séries connues (géométrique ou de Riemann)  convergentes ou utiliser des équivalents.

Si la série n'est pas à termes positifs et ne semble pas absolument converger, on peut tenter le critère des séries alternées ou revenir aux définitions.

la cuisine des équivalents est délicate. Avec les équivalents on ne peut pas en général faire d'addition ni de composition avec une fonction. On ne peut faire que des multiplications ou des divisions. Pour un oral il faut connaître la défition de l'expression "sont équivalents qd n tends vers l'infini".

La cuisine des majorations est plus facile en valeur absolue, mais pour éviter les erreurs doit se faire à petits pas, en contrôlant bien que chaque pas respecte les règles.

Merci Arkhnor, j'étais complètement ailleurs !

De rien, ca arrive à tout le monde