Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau terminale
Partager :

Croissance comparée

Posté par
FerreSucre 12-02-20 à 18:19

J'ai entendu sur plusieurs forum de limites le terme de croissance comparée, j'aimerai savoir ce que c'est par exemple avec :

\lim_{x\to\infty} x²e^{-x}

? Je sais comment la calculer :
= \lim_{x\to\infty}\dfrac{x²}{e^x}
on utilise la règle de l'hôpital 2 fois et on trouve = 0
Mais j'aimerai savoir ce que c'est que la croissance comparée merci.

Posté par
Yzzre : Croissance comparée 12-02-20 à 18:30

Salut,

Ce que l'on appelle "croissance comparée", c'est une propriété de la fonction exp sur les polynômes :
Lorsqu'on se trouve en présence d'une forme indéterminée dans le calcul d'une limite concernant une fonction exp et un polynôme, alors "l'exponentielle l'emporte".
On a une propriété analogue avec le logarithme (mais dans ce cas, c'est le polynôme "qui l'emporte").

Posté par
Glapion Moderateurre : Croissance comparée 12-02-20 à 19:57

Et d'ailleurs FerreSucre toi qui aime bien apprendre des trucs nouveaux, tu devrais chercher la démonstration de

\lim_{x->\infty}\dfrac{e^x}{x^2}=\infty

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 21:38

La démonstration ? ?
C'est à dire. Montrer que e^x l'emporte sur x^n enfaite ?

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 21:44

Parce que de base on applique la règle de l'hôpital, ducoup on dérive 2 fois et e^x/2 = inf. ?

Donc le démontrer pur et dur ?

Posté par
alb12re : Croissance comparée 12-02-20 à 21:44

salut, on veut ici une demo niveau lycee je suppose

Posté par
co11re : Croissance comparée 12-02-20 à 21:51

Bonsoir,
oui,d 'accord avec alb12,
Ferresucre, tu es censé être en  terminale, alors la règle de l'hôpital ..... bof

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 21:51

Ah attends :

\begin{aligned}\lim_{(x;n)\to\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = 0\end{aligned}
Quand n tend vers l'infini car si on utilise la règle de l'hôpital, on a :

= \begin{aligned}\lim_{(x,n)\to\infty}\dfrac{e^x}{n!} = 0\end{aligned}

n! Est plus puissant que e^x ?

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 21:54

co11 je suis censée être en première xD et censée ne pas avoir vue les limites aussi... , faut quand même avouer qu'elle est pratique la règle !

Posté par
alb12re : Croissance comparée 12-02-20 à 22:01

Que dit l'Hopital pour l'etude de la limite de sin(x)/x quand x tend vers plus l'infini ?

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 22:13

Je vais réfléchir à une démo lycée.
e^x/x² , on dérive pour choper les variations,
f'(x) = \dfrac{x²e^x-2xe^x}{x^4}

x^4 est positif, on doit donc savoir le signes de x²e^x-2xe^x,
e^x(x²-2x)

On étudie plus que x²-2x
On cherche les racines !

x(x-2), x = 0   ou    x = 2
Comme a> 0 , 1> 0
On a :
           ∞.       0.            2.       ∞
f'(x)     +.             -              +
f(x). Croissante, décroissante, croissante.

Mais ! Je me posais une question en faisant cela (je n'ai pas le temps de fzire f''(x)) est ce que une fonction convexe et croissante sur ]a;inf[ a forcément une limite en infini ducoup ? (Théorie) j'ai pas travaillé les dérivée secondes encore cette année et ni les croissances avec derivation x)
                

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 22:14

Alb12 il dit rien c'est pas 0/0 ou ∞/∞

Posté par
co11re : Croissance comparée 12-02-20 à 22:17

Si tu n'as pas vu les limites alors là j'ai du mal à comprendre d'où sort ta question.
Première xD, de quoi s'agit-il ?
Et que veut dire limite qd (x;n) + ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Croissance comparée 12-02-20 à 22:24

Bon, indication alors :

appelle g(x) = ex-x²/2
- trouve g'(x) puis g"(x) et déduis en que g(x) est toujours positive
- déduis en que ex/x > x/2 puis que ex/x tend vers l'infini
- essaye après d'en déduire que c'est vrai aussi pour ex/xn

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 22:28

Non l'autre truc de limite n et x vers l'infini c'était à part c'était juste le fait que e^x/x^net si x et n tendent vers l'infi sa revient à e^x/n!  Et apparemment n! Est plus puissant que e^x (faudrait le démontrer mais c'était à part).

Sinon la démonstration type lycée était de :
1.Faire la dérivée de f, ainsi avoir le tableau de variation.
2.Faire la dérivée seconde, puis faire la convexité et concavité de la fonction.

Et la ma question si F est croissante et convexe sur ]a,infini[ , alors ça limite est l'infini ?

Posté par
alb12re : Croissance comparée 12-02-20 à 22:33

quand on connaît la limite de e^x/x, on en deduit rapidement celle de e^x/x^n

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 22:39

Ah oui voilà j'ai trouvé sur internet, donc il me restait plus qu'à faire la dérivée seconde de f, montrer qu'elle est convexe sur ]a;infini[ et conclure que la limite est l'infini (si elle est convexe et croissante sur ]a;infini[.

Après pour e^x/x^n là ça revient un peu au même non ? On pourrait faire la même chose ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Croissance comparée 12-02-20 à 22:47

Citation :
Après pour e^x/x^n là ça revient un peu au même non ? On pourrait faire la même chose ?


cherche un peu montre voir ta démonstration ?

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 12-02-20 à 22:59

D'accord demain ou peut-être même vendredi je vais me coucher et j'ai du boulot demain et vendredi... bonne nuit.

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 18:33

Alors la démonstration :

\lim_{x\to\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = \infty ?

On pose f(x) = \dfrac{e^x}{x^n}
On applique la dérivée.

f'(x) = \dfrac{e^x*x^n-e^xnx^{n-1}}{x^{2n}}

f'(x) = \dfrac{e^x(x^n-nx^{n-1})}{x^{2n}}

f'(x) = \dfrac{e^x(x^{n-1}(x-n))}{x^{2n}}

Comme on cherche la limite en +\infty, on remarque qu'elle est croissante car f' est positive en +\infty à partir du moment ou x>n.
Donc y'a bien un moment dans la fonction où elle est croissante sur un intervalle
[a;+\infty]. Avec a = n
Cependant ça nous indique en rien sur la limite, la fonction est croissante mais elle peut avoir une limite finie L

On a donc :

f'(x) = \dfrac{e^x(x^{n-1}(x-n))}{x^{2n}}

f'(x) = \dfrac{e^x*x^n-e^xnx^{n-1}}{x^{2n}}

On calcule la dérivée seconde pour établir peut être une convexité.

f''(x) = \dfrac{u'v-v'u}{v²}

u = e^x*x^n-e^xnx^{n-1}

u' = e^x*x^n + e^xnx^{n-1} - e^xnx^{n-1}-e^xn(n-1)x^{n-2}

u' = x^{n-2}(x²e^x-e^xn(n-1))

u' = x^{n-2}(e^x(x²-n(n-1)))

v = x^{2n}     , v' = 2nx^{2n-1}

On applique :

f''(x) = \dfrac{x^{2n}*x^{n-2}(e^x(x²-n(n-1)))-2nx^{2n-1}* e^x(x^{n-1}(x-n))}{x^{4n}}

C'est compliqué de comprendre ce qu'on écrit quand on voit que le « code ». J'ai pas tout factoriser car ça prend trois plombe xD et c'est pas strictement nécessaire :
On a :

f''(x) = \dfrac{x^{2n}*x^{n-2}(e^x(x²-n² + n)))-2nx^{2n-1}* e^x(x^{n-1}(x-n))}{x^{4n}}

Tout est positifs sauf ces membres là qui peuvent conduire à une négativité :

x²-n²+n et x-n
x²>n(n-1)

Il faut donc que :

x > \sqrt{n(n-1)} pour que le membre de gauche sout positif, or :

On a aussi (x-n) qui doit être > 0

\sqrt{n(n-1)}  < n
n²- n < n²
-n < 0 car n .

Ainsi il faut que x > n pour que la dérivée seconde soit positive et si x>n alors on a bien un intervalle de convexité de f qui est [a;+\infty[

Par conséquent on vient de démontrer que f' positive sur un intervalle[a;+\infty] et de même pour f''.

La fonction est donc convexe et croissante sur l'intervale suivant : [a;+\infty[
Il existe donc un intervalle tel que f est croissante et convexe jusqu'à l'infini.
On vient de réunir les conditions qui affirme que la limite de :

\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

Voilà j'espère que j'ai pas fait d'erreur d'inattention !

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 18:49

On peut même dire que l'intervalle ou f est croissante et convexe est [n;+\infty[ et donc que un des extremum de f est n avec
n.

Posté par
Glapion Moderateurre : Croissance comparée 14-02-20 à 18:57

C'est bien compliqué ta démonstration !

on sait déjà que eX/X > X/2
on pose X = x/n n étant fixé et x tendant vers l'infini
ça donne nex/n/x > x/2n ex/n/x > x/(2n²)
on élève les deux cotés à la puissance n
ex/xn > xn(2n²)n

le membre de droite tend vers l'infini donc le membre de gauche aussi.

Posté par
carpediemre : Croissance comparée 14-02-20 à 19:13

salut

sur R+

f(x) = e^x - x^3 \\ f'(x) = e^x - 3x^2 \\ f''(x) = e^x - 3x \\ f'''(x) = e^x - 3 \\ \\ f'''(x) \ge 0 \iff x \ge \ln 3

donc f'' est décroissante sur [0, ln 3] et croissante sur [ln 3, +oo[

or f''(3) = e^3 - 9 > 0

donc f'' est positive et f' est croissante

or f'(0) = 1 donc f est croissante

or f(0) = 1 donc f est positive

donc fx) \ge 1 => e^x - x^3 \ge 1 \iff \dfrac {e^x} {x^2} \ge x + \dfrac 1 {x^2}

or le second membre tend vers +oo ...

exercice :

1) étudier la fonction f définie par f(x) = e^x - x^2 sur R+ et montrer que \lim_{x \to + \infty} \dfrac {e^x} x = + \infty

2/ montrer par récurrence que \lim_{x \to + \infty} \dfrac {e^x} {x^n} = + \infty en considérant la fonction f(x) = e^x - x^{n + 1}

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 19:16

Ouais mais j'ai fais à l'ancienne moi, j'ai pas encore vue les limites je fais avec ce que je connais x) mais au moins elle est complète la mienne et on a plus d'informations sur la fonction

Faut que je m'intéresse plus au limite là ! C'est plutôt pratique !

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 19:18

Mais juste comme ça, carpediem et Glapion, ma démonstration est correcte ? je vais réfléchir à ton exo carpediem ! J'ouvre un autre forum ? Et où ?

Posté par
alb12re : Croissance comparée 14-02-20 à 19:19

bof... e^x/x^2=1/4*(e^(x/2))^2/(x/2)^2 idem avec x^n

Posté par
carpediemre : Croissance comparée 14-02-20 à 19:27

FerreSucre : non tu continues ici

la méthode de alb12 est très efficace bien sur

la mienne à l'avantage de justifier la croissance comparée de base e^x / x ... et peut s'appliquer à bien d'autres croissances comparées ...

quant à ta méthode : elle est trop longue pour que je la lise ...

elle est basée sur la même idée que moi ... mais plutôt qu'un quotient (pénible à dériver par exemple) je préfère une soustraction (simple à dériver)

Posté par
carpediemre : Croissance comparée 14-02-20 à 19:31

par contre j'ai fait une erreur :

carpediem @ 14-02-2020 à 19:13

sur R+

f(x) = e^x - x^3 \\ f'(x) = e^x - 3x^2 \\ f''(x) = e^x - 6x \\ f'''(x) = e^x - 6 \\ \\ f'''(x) \ge 0 \iff x \ge \ln 6

donc f'' est décroissante sur [0, ln 6] et croissante sur [ln 6, +oo[

or f''(6) = e^6 - 36 > 0

....

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 19:55

Ouais d'accord, si t'as la flemme de lire en gros j'ai déterminé que sur l'intervalle [n ; +\infty[ , f est croissante et convexe donc limite : +\infty

Donc ok je continues ici et je vaid y réfléchir !

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 20:12

Question 1 :

\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty

Je viens de le démontrer donc oui .

Question 2 :

montrer par récurrence que \lim_{x \to + \infty} \dfrac {e^x} {x^n} = + \infty en considérant la fonction f(x) = e^x - x^{n + 1}

Réponse 2 :

On a donc :

f(x) = e^x - x^{n+1}

Je vois pas trop par où partir là, je vois bien qu'il faut faire ce que tu as fais mais par où partir pour poser une équation avec les limites.

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 21:54

Je sais vraiment pas quoi faire, j'aime pas les raisonnements par récurrence x)...

Posté par
alb12re : Croissance comparée 14-02-20 à 22:01

dans cas voir 19h19 redaction de la demo en 1 ligne

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:11

Pour résumer en faisant ta technique faut :

Démontrerque la fonction :

f(x) = e^x - x^{n+1}> 1 \iff \dfrac{e^x}{x^{n-1}}> ...

Donc :

f(x) = e^x - x^{n+1}
f'(x) = e^x - (n+1)x^{n}
f''(x) = e^x - n(n+1)x^{n-1}
f^{.....}(x) = e^x - (n+1)!

e^x > (n+1)!
Comme n est une constante, y'a bien un intervalle [a;+oo] où f.... est positive.

Si j'ai bien compris faut démontrer que :
f^{...} entraîne que f''', f'', f' , f est positive et croissante à un intervalle [a;+oo[.

Franchement je sais pas où partir j'ai pas du tout étudier les raisonnements par récurrence j'ai seulement une base de niveau terminale mais complètement inutile.

Posté par
alb12re : Croissance comparée 14-02-20 à 22:15

ça n'arriverait pas avec une bonne integrale
quand on n'a pas ce que l'on aime, on aime ce que l'on a !

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:15

\dfrac{e^x}{x^2} =1/4*(e^{x/2})^2/(x/2)^2

Je vois pas trop quoi en faire de ça...

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:17

j'aime pas que les intégrales mais les proba et les raisonnements par récurrence y'a pas pire.... les probabilités y'a rien d'intéressant (en tout cas en première).
Mais sinon j'aime bien les suites, les fonctions, dérivée, intégrale, vecteurs, ...

Posté par
alb12re : Croissance comparée 14-02-20 à 22:20

à 22h15 c'est de l'analyse (limites) donc tu dois trouver
je rappelle que la limite de e^x/x est supposee demontree

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:27

f(x) = e^x - x^{n+1}
f'(x) = e^x - (n+1)x^{n}
f''(x) = e^x - n(n+1)x^{n-1}
f^{.....}(x) = e^x - (n+1)!
f^...-1 = e^x —) convexe
e^x > (n+1)!

Donc f...+1 croissante sur [(n+1)!;+oo[
Et convexe donc > 0 à un moment,
f..+2 croissante, et convexe > 0 à un moment et ainsi de suite.

On a donc :

f(x) > 0 sur ]\alpha;+\infty[, et convexe donc lim = \infty
On a donc bien :

f(x) > 1 à un moment.
e^x-x^{n+1} > 1
e^x > 1+x^{n+1}
e^x > (\dfrac{1}{x^n} + x)x^n
\dfrac{e^x}{x^n} > \dfrax{1}{x^n}+x

On applique la limite et on a :

\lim_{x\to\infty} \dfrac{e^x}{x^n} > \infty

C'est ça qu'il faut faire y'a juste la partie récurrence de dérivée tordue qu'il faut réellement démontrer ? Le principe est là ?

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:40

Avec ton truc je sais pas quoi en faire tu as mis aucune explication avec.

\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n}*\dfrac{(e^{x/n})^n}{(\dfrac{x}{n})^n}

\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n}*(\dfrac{e^{x/n}}{x/n}^n)

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:47

En fait la partie :

f(x) = e^x - x^{n+1}

f' = e^x - (n+1)x^n

f^{\infty-1} = e^x - (n+1)!

f^{\infty} = e^x

Je vois pas en quoi la récurrence peut être appliquée. On a
e^x > 0 , implique e^x - (n+1)! Croissante.
Et forcément > 0 à un moment car constante.
e^x - (n+1)!x Est donc croisssante et convexe, forcément > 0 à un moment, donc,
e^x.... est donc croissante et convexe... et ainsi de suite jusqu'à f(x) qui sera convexe et croissante sur un intervalle]a;+oo[

Posté par
larrechre : Croissance comparée 14-02-20 à 22:47

Bonsoir,

Et si tu posais x/n=u ?

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:52

On peut donc en déduire que f est convexe,
Et croissante soit lim +oo, par conséquent forcément > 1 à un moment.
e^x > 1+x^{n+1}
\dfrac{e^x}{x^n} > \dfrac{1}{x^n}+x
La lim de droite est +oo donc à gauche aussi.

C'est la démonstration de carpediem, si c'est ça elle est plus rapide et simple j'avoue. Après faut y penser.

Posté par
Glapion Moderateurre : Croissance comparée 14-02-20 à 22:53

Citation :
Et si tu posais x/n=u ?

voir le post de 18:57

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 22:58

J'ai voulu le faire larrech mais c'est pas très intéressant je trouve on a :

\lim_{u\to\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n}*(\dfrac{e^{h}}{h}^n)

Mais après... on a notre e^x/x mais bon...
Ça nous fait du :

\lim_{u\to\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n}*(\dfrac{\infty}{n}^n) = \infty car n est une constante.
C'est ça ?

Posté par
larrechre : Croissance comparée 14-02-20 à 22:58

ou X , au choix

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 23:00

Euh zut la fin est fausse :

\lim_{h\to\infty} (\dfrac{\infty}{n})^n = \infty

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 23:04

C'est ça ducoup ?

Posté par
larrechre : Croissance comparée 14-02-20 à 23:12

On sait que quand X\to+\infty, \dfrac{e^X}{X}\to+\infty.

A plus forte raison \left(\dfrac{e^X}{X}\right)^n et le facteur 1/n^n qui est une constante, n'y change rien.

Posté par
FerreSucrere : Croissance comparée 14-02-20 à 23:23

Ouais ok , je vois pas en quoi le raisonnement par récurrence était demandé !

Posté par
Zormuchere : Croissance comparée 15-02-20 à 03:34

Bonsoir

j'aime bien étudier la suite u_n=f(n)=\dfrac{e^n}{n^2}, \quad n\ge 1

On montre qu'elle tend vers +infini, et comme f est croissante, alors f tend également vers +infini

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !