Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire sur le cryptage RSA, cependant j'ai un petit doute à un certain endroit :

Le voici :

Principe du système R.S.A. :

On chiffre le message : on choisit deux nombres premiers p et q très grands et on calcule n=pq

On pose m = (p − 1)(q − 1)

On cherche deux nombres entiers naturels c et d tels que cd ≡ 1[m].

Les messages x seront des nombres entiers naturels appartenant à {0 ; 1 ; … ; n − 1}. Le codage de ce message consiste à calculer C(x) ≡ x^c[n].

Le décodage consiste à calculer D(y) ≡ y^d.[n].

Pour chiffrer un message, on a besoin de connaître c et n.

Le couple (n ; c) est appelé la clé publique car elle est connue de tous et répertoriée dans un annuaire.

Pour déchiffrer, il faut connaître d et n.
d est appelé la clé privée car elle n'est connue que de la personne qui reçoit le message codé.

Cynthia prend p = 5, q = 11 et donc n = 55

Questions :

a) Démontrer qu'il peut choisir c = 9 et d = 9.

Pour celle-ci, j'ai calculé m : m= (5-1)(11-1)=40
et on connaît n : n=55

m=40 et c=9 sont premiers entre eux
n=55 et d=9 sont premiers entre eux

c et d sont donc convenables.

Je ne sais pas s'il vaut également rajouter que : 81= 2x40 +1 donc cd=2m+1 pour montrer que c=9 et d=9 sont convenables ou non… Est-ce utile ?


b) Les lettres de l'alphabet sont chiffrées par : A : 01 ; B : 02 ; C:03 ; … ; Y : 25 ; Z:26

Paul, qui connaît la clé publique de Cynthia, crypte le message « VIVE LA CRYPTOGRAPHIE »
et lui envoie. Quel message crypté Cynthia reçoit-elle ? Comment le décode-t-elle ?

Pour cela, je doute de ma réponse : j'ai fait :

V : 22 (22eme lettre de l'alphabet)

donc pour chiffrer 22, on fait :

C(22)≡ 22⁹ ≡ 22 [55]

de même pour I : I:09

C(9) ≡ 9⁹ = 49 [55]

De même pour E : E:05

C(5) ≡ 5⁹ = 20 [55]

Je trouve donc, à la fin et en répétant ceci pour toutes les lettres contenues dans « vive la cryptographie » :

22 49 22 20 12 01 48 08 15 31 05 25 52 08 01 31 18 49 20    
V   I   V   E  L   A  C  R  Y  P  T  O  G  R  A  P  H  I  E

Cynthia le décode en faisant pour chaque valeur y : D(y) ≡ y^d.[n]

par exemple pour le E : D(20) ≡ 20⁹≡ 5.[55], ce qui donne 05 et donc E

de même pour I : D(49) ≡ 49⁹≡ 9.[55], ce qui donne 09 et donc I.





Lise a pour clé publique (n ; c) avec n = pq , p = 3, q = 13.

c) Démontrer qu'elle peut choisir c = 29 et d = 5.

On refait encore la même chose que pour le a) :

On calcule m : m= (3-1)(13-1)=24
et on connaît n : n=3x13=39

m=24 et c=29 sont premiers entre eux
n=39 et d=5 sont premiers entre eux

c et d sont donc convenables.

Encore une fois, est-il nécessaire d'ajouter que : 145= 6x24 +1 donc cd=6m+1 pour montrer que c=29 et d=5 sont convenables ou non ?

d) Elle reçoit le message crypté suivant de Julie : 28 01 12 21 11 12 03 28 05. Décrypter le message.

On fait D(y) ≡ y^d.[n] : D(28) ≡ 28⁵ ≡ 19 [39]

On fait de même pour toutes les valeurs, on trouve :

19 01 12 21 20 12 09 19 05
S   A   L  U   T   L   I   S   E