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D'alembert gauss
Bonsoir,
j'ai quelques questions sur la demo de d'alembert gauss faisant intervenir les developpements limites , comme celle ci par exemple 
, j'arrive a comprendre les etapes une a une et je vois bien ou on utilise toute les hypotheses , notament l'utilisation des complexes .
toutefois je n'arrive pas a avoir une comprehension intuitive du resultat pourquoi ca marche dans C et pas dans R( je connais les contre-exemples dans R ) , est ce parce que on est dans une dimension superieure ( en parlant d'espace vectoriel )?
1/ comment pourrais t on avoir l'idee d'une telle preuve ( j'aimerais bien une autre reponse que 'il faut etre gauss' , meme si c'est certainement la bonne reponse )
2/pourquoi l'utilisation de l'absurde est elle pertinente dans ce cas ?
3/ existe t il d'autre preuve faisant usage d'un schema de demonstration similaire ?
merci
Bonsoir,
J'apporte quelque réponse sans doute lacunaire à tes questions.
1) chercher, chercher et encore chercher …
Trouver tous les arguments d'une preuve comme ça ne prend certainement pas 3 minutes pour un résultat qui, remis dans son contexte, est une révolution.
De manière générale, il est illusoire de croire qu'on peut tout démontrer en réfléchissant 2 secondes dessus , ce qui est peut-être le travers de la plupart des étudiants.
2) J'ai envie de te dire parce que ça marche !
En fait, ici on voit bien que si la fonction ne s'annule pas alors on gagne beaucoup plus d'information sur celle-ci, à savoir qu'elle admet un minimum en module sur . Mais bon ceci n'a rien de général et ne garantit même pas de pouvoir conclure facilement.
3) D'autre preuve de D'alembert-Gauss tu veux dire ?
Ou des théorèmes qui ont une preuve similaire ?
De manière générale, l'absurde qui te permet d'exhiber un minimum de fonction n'on nul , c'est assez classique
Bonsoir,
Cette démonstration du théorème fondamental de l'algèbre est, je crois, assez tardive. Elle repose en fait sur l'analyse complexe (théorème de l'application ouverte et principe du maximum). On peut après coup évacuer pratiquement tout cet attirail d'analyse complexe (comme dans la page mise en lien), mais c'est cacher le ressort de la démonstration.
bonjour
Zrun , je me permet de relancer le topic ,
pour la 3) , je me demande si il y a un interet autre que historique a apprendre cette demo , les techniques qu'elle utilise sont elle récurrentes ? y a t il un interet a donner cette demo comme exo a un eleve sachant qu'il ne pourra tres probablement pas la faire .
GBZM pourriez vous m'expliquer plus clairement ce que vous voulez dire par 'cacher le ressort de la demonstration' ?
merci
C'est exactement la question que tu poses :
je me demande si il y a un interet autre que historique a apprendre cette demo , les techniques qu'elle utilise sont elle récurrentes ? y a t il un interet a donner cette demo comme exo a un eleve sachant qu'il ne pourra tres probablement pas la faire .
Ce qui pose problème, c'est qu'on voit difficilement dans la démonstration la ligne directrice, qui est le fait qu'une application holomorphe non constante est ouverte et que par conséquent si sa valeur en un point est non nulle, elle prendra forcément au voisinage de ce point des valeurs de module plus petit. Une fois qu'on sait cela, on peut mettre les mains dans le cambouis dans le cas d'un polynôme.
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