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de l integration

Posté par abdelilah (invité) 16-02-07 à 15:43

bonjour à tous
étant donné sur $\Omega \times \Omega$ ( $\Omega$ ouvert de R^n) une fonction f $L^{1}$ pour la mesure produit. quand pourait-on affirmer que x ---->f(x,x) est $L^{1} (\Omega)$ .

problème: la diagonale de $\Omega \times \Omega$ est de mesure nulle pour la mesure produit

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : de l integration 16-02-07 à 15:54

Ben, le problème, il me semble, c'est que la quantité

$\int_\Omega |f(x,x)| \text{d}\lambda_n(x) \in\bar{\mathbb{R}}^+$

où $\lambda_n$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^n$ dépend du représentant choisi pour la fonction $f$ (dans la classe des fonctions (mesurables sur $\Omega\times\Omega$ ) qui lui sont presque partout égales sur $\Omega\times\Omega$ ), non ?

En ce sens, la simple information $f\in L^1(\Omega\times\Omega)$ ne permet pas de répondre à la question : " $x\rightarrow f(x,x)$ est-elle dans $L^1(\Omega)$ ?".

Posté par re : de l integration 16-02-07 à 15:55

Bonjour,

justement on peut affirmer cela si la mesure de la diagonale est nulle on intègre sur un ensemble de mesure nulle donc l'intégrale est nulle.

Apres ca dépend de ta mesure aussi pour pouvoir affirmer ca.

Posté par abdelilah (invité)re : de l integration 16-02-07 à 16:08

oui, c est justement ce que je me suis dis.
merci pour la disponibilité.

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