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Début de Topologie

Posté par
robby3 30-01-07 à 21:13

Bonsoir à tous,début de la topologie de semestre 4 et déja des difficultés qui me semblent graves lol, pourriez vous me donner un petit coup de main pour cet exercice:

\rm N_1,N_2,N_{oo} sont les normes usuelles sur E,un R_espace vectoriel\rm muni d'une base quelconque(e_i),i appartenant a I ou I n'est pas fini\rm sachant que d_{oo}<=d_2<=d_1,montrer qu'il n'existe pas de constante K tel que\rm d_2<=Kd_{oo} ou d_1<=Kd_2(on pourra utiliser les points x=sum(e_kj)(i=1..n)

\rm Soit a>0,la boule B_{oo}(0,a) est-elle contenue dans B_2(0,1) et B_2(0,a) l'est-elle dans B_1(0,a)?
On me dit de considerer les points x=c*sum((ekj)(j=1..n)

Je ne sais vraiment pas quoi faire,toute idée est la bienvenue,pour la question b) j'ai essaye de prendre un élément dans la boule infini et de montrer qu'il est dans la boule euclidienne mais je n'y arrive pas...

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 30-01-07 à 21:38

Re robby3

On te demande de considérer ces vecteurs : pour un tel x, calcule ses 3 normes (ensuite, regarde ce qui se passe lorsque n tend vers l'infini).

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 30-01-07 à 22:06

En fait je crois savoir ou tu veux en venir,mais je sais pas comment le rédiger,il faudrait montrer que ça tend vers l'infini,comme ça une constante K n'existerait pas,je pense que cela à un rapport avec le fair que I n'est pas fini cad que les indices n'ont pas un nombre donné,on ne sait pas combien il y en a...
Mais aprés pour rédiger ça,bah j'arrive pas,quand tu me dis de calculer les 3 normes, c'est honteux mais je peine franchement.

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 30-01-07 à 23:14

Avant tout, pourrais-tu réécrire les sommes que l'on te demande de considérer ?
J'ai dû mal à voir ce que c'est.

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 30-01-07 à 23:39

on me demande de considérer les points x= somme des ekj pour j allant de 1 à n,mais au début de l'énoncé,on me dit,pour tout x d

Posté par
robby3re : Début de Topologie 30-01-07 à 23:41

(dsl erreur de manipulation)
pour tout x dans E,il existe un ensemble fini d'indices Ix inclus dans I tel que x=somme des xiei pour i dans Ix
Voila,mais je suis completement pommé la...

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 30-01-07 à 23:45

Citation :
on me demande de considérer les points x= somme des ekj pour j allant de 1 à n,


OK, je vois ce que tu veux dire.

Déjà, comme I est infini, alors on voit que I contient une suite d'éléments \Large{(k_{j})_{j\in \mathbb{N}}} deux à deux distincts.

ça tu as compris ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 30-01-07 à 23:50

euhh franchement non,d'ou ça sort ça? pourquoi "on voit que"??

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 30-01-07 à 23:55

Il suffit de la construire par récurrence.

Comme I est infini, alors en particulier I est non vide et contient donc un élément que l'on note \Large{k_{0}}.

Ensuite, Comme I est infini, alors \Large{I-\{k_{0}\}} est non vide donc contient un élément que l'on note \Large{k_{1}} et qui est donc distinct de \Large{k_{0}}.

et on continue....

Comme I est infini, alors \Large{I-\{k_{0},k_{j},...,k_{j}\}} est non vide, et donc contient un élément que l'on note \Large{k_{j+1}} et qui est distinct des \Large{i_{}} avec i compris entre 0 et j.

C'est OK ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 30-01-07 à 23:59

ok je suis d'accord avec la construction de la suite,ça j'ai compris lol(c'est rare que je comprene je sais mais ça j'ai compris )

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 00:05

Citation :
justement le rapport du terme de droite par le terme de gauche


mais non, mais non !!

maintenant, en fait, on te demande de t'intéresser à la suite \Large{(x_{n})} définie par \Large{x_{n}=\bigsum_{j=1}^{n}e_{k_{j}}}.

À présent, je voudrais que tu me dises ce que vaut \Large{d_{1}(x_{n})}, \Large{d_{2}(x_{n})} et \Large{d_{\infty}(x_{n})} pour tout n.

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 00:12

looool,mais c'est ça le probleme,il définisse N1(x)=somme de |xi| pour i dans Ix...
donc x1=ek1,x2=ek1+ek2,...,xn=ek1+...+ekn
donc d1(xn,yn)=N1(xn-yn)...est-ce que ça c'est bon?

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 00:15

autant pour moi.
calcule plutôt \Large{d_{1}(x_{n},0)}, \Large{d_{2}(x_{n},0)} et \Large{d_{\infty}(x_{n},0)} (c'est-à-dire les normes de \Large{x_{n}}).

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 00:23

lool non non c'est plutot autant pour moi depuis le temps que je patauge dans mes exos lol...
d1(xn,0)=N1(xn)=|ek1|+|ek1+ek2|+...+|ek1+...+ekn|
d2(xn,0)=N2(xn)=\rm sqrt({e_k1}^2)+...+(sqrt({e_k1}^2)+...+sqrt({e_kn}^2))
doo(xn,0)=Noo(xn)=max|somme des ekj|??

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 00:30

je ne comprends pas !

pourquoi tu as plusieurs sommes ?
Autre chose : la racine d'un vecteur n'est pas définie, la valeur absolue d'un vecteur non plus.

La définition de ces normes est la même que dans \Large{\mathbb{R}^{n}}.

par exemple, si x s'écrit

\Large{x=\bigsum_{i\in I_{x}}x_{i}e_{i}},

alors :

\Large{N_{1}(x)=\bigsum_{i\in I_{x}}|x_{i}|}

\Large{N_{2}(x)=\sqrt{\bigsum_{i\in I_{x}}x_{i}^{2}}}

\Large{N_{\infty}(x)=\max_{i\in I_{x}}|x_{i}|}

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 00:34

bouhh je craque,la définition des normes ok,pas de souci,la norme des xn...on a bien x1=ek1??

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 00:36

oui

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 00:41

ok donc pour N1(xn),c'est par définition la somme des valeurs absolues des xi,donc c'est |x1|+...+|xn| mais on a bien dit x1=ek1,et xn par définition des xn comme somme des ekj...c'est ek1+...+ekn n'est ce pas?

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 00:47

oula, on est en train de se mélanger !!
Pour moi, le \Large{x_{n}} tel que je l'ai considéré au départ, c'est un vecteur et non pas une coordonnée.
Plus précisément, les coordonnées non nulles de \Large{x_{n}} sont égales à 1.

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 00:50

a!! bon bah j'ai rien piger la!!je comprend pas,si x1=ek1 x2 c'est ek2? c'est pas ek1+ek2?? Vraiment la je suis embrouillé lool,je sais plus quoi faire

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 00:56

Pour moi, les \Large{x_{n}}, ce sont des vecteurs et non pas des coordonnées (voir mon message de 00h05).

En ce qui concerne mon message 00h30, j'ai aussi appelé \Large{x_{i}} les coordonnées (c'est pas malin !! )

donc, oublie ce message (du moins la notation)
Rappelle toi seulement que si x est un vecteur alors \Large{N_{1}(x)} est la somme des valeurs absolues de ses coordonnées, \Large{N_{2}(x)} est la racines carrée de la somme des carrés de ses coordonnées et \Large{N_{\infty}(x)} est la plus grande de ses coordonnées en valeur absolue.

donc

Citation :
x2 c'est ek2?


non

Citation :
c'est pas ek1+ek2??


si


Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 00:59

LOL alors pourquoi j'ai faux a mon message de 00:23 mise a part qu'on apas définit la valeur absolue d'un vecteur??
je vois trop pas??!

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:02

parce que les coordonnées non nulles du vecteur sont égales à 1.

En effet,

\Large{x_{1}=1.e_{1}}

\Large{x_{2}=1.e_{1}+1.e_{2}}

\Large{x_{3}=1.e_{1}+1.e_{2}+1.e_{3}}, etc...

Tu vois ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:05

oui ça je vois,oui oui...et quand on fait la sommme des valeurs absolues, on apas le droit de prendre les valeurs abolues des ei??

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:07

Citation :
et quand on fait la sommme des valeurs absolues, on apas le droit de prendre les valeurs abolues des ei??


Non, c'est la valeur absolue des coordonnées (non nulles) qui valent toutes 1, qu'il faut prendre.
Les \Large{e_{i}} sont des vecteurs.

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:11

ahh ok,donc en fait on ajoutes des ei...il va y avoir n fois le terme e1...n-1 fois le terme e2 et ect...puis une seule fois le terme en et ça se sera d1(xn,0)?

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:16

Non, ce n'est toujours pas ça !

La norme ne doit faire intervenir que les coordonnées et non pas des vecteurs !!

Par exemple, \Large{x_{2}=1.e_{k_{1}}+1.e_{k_{2}}}

donc \large{N_{2}(x_{2})=\sqrt{|1|^{2}+|1|^{2}}=\sqrt{2}}

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:17

ENfin bref lool,je suis un peu crevé donc je vais aller pieuter un ti peu,je reviendrais demin soir sans doute pour poursuivre,je te remerci beaucoup de ta patience a mon egard lol,merci de ton aide pour les deux sujets,et que dire d'autre si ce n'est qu'encore une fois tu ma trés bien aidé!!

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:18

ahhhh ouéééé,en fait ça fait sqrt(1)+sqrt(2)+...+sqrt(n) pour N2??

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:19

OK, bonne nuit !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:19

Citation :
ahhhh ouéééé,en fait ça fait sqrt(1)+sqrt(2)+...+sqrt(n) pour N2??


non !

seulement \Large{sqrt{n}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:20

et oué donc atta deux petite minutes lol, donc pour N1(xn) ça nous fait n non?

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:21

ahh lool encore loupé looool,ahh oué N2'xn)=sqrt(n) oui okok

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:22

c'est bien ça !

et tant qu'on y ait, que vaut \Large{N_{\infty}(x_{n})} ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:23

et donc...Noo(xn)=1 ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:24

c'est ça !

Kaiser

Posté par
robby3re : Début de Topologie 31-01-07 à 01:27

ouiiiiiiiiii!!!!!!!!!!! ça c'est cool je vais pas me caucher sans avoir rien compris,et ça c'est une bonne chose!! cool!! merci beaucoup de ton aide et de ton extreme patience!! je pense que je peux te souhaiter une bonne nuit lool.
Merci.(mais franchement ça fait plaisir d'avoir trouver quelques trucs,meme si ça peut te paraitre sans doute futile,je pense que j'ai pigé quelques trucs important ce soir)

Posté par
kaiser Moderateurre : Début de Topologie 31-01-07 à 01:29

Content que tu aies compris !
Bonne nuit et à plus tard !

Kaiser


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