Salut,

1) Décomposition dans de:


Ici, le degré du polynôme au numérateur est supérieur au dégré du polynôme du dénominateur premier réflexe: on effectue une division euclidienne.

Je te laisse la faire...

Quelques secondes plus tard (je sais que tu es rapide ), on arrive donc à:



On va alors effectuer la décomposition en éléments simples de

Etude du polynôme du dénominateur:

Il se trouve qu'ici les racines sont faciles à trouver et l'on a:


La décomposition en éléments de va donc être de la forme

On écrit:

= (*)

Déterminons la constante a:

- On multiplie chaque membre de l'équation (*) par , on a alors:

=

- On assigne à X la valeur 2, on obtient:






On détermine la constante c par le même processus: on multiplie les deux membres de l'équation (*) par puis l'on assigne à X la valeur 1.

(je te laisse t'entraîner...)

On obtient

A partir de là, on a donc:

=

Pour déterminer b, on peut par exemple assigner à X la valeur 0 (ou n'importe quelle autre... mais 0 permet une simplication rapide des calculs)

Ces dits calculs donnent:


D'où, en conclusion,

Bon courage.

Salut, (on s'est déjà rencontré non? )

Pour la décomposition dans de sachant que le polynôme P n'a que des racines simples.

On va donc supposer que P est un polynôme de degré n et que les _k (k=1,...,n) sont les racines de P.

On écrit alors:



Que vaut P' ici? Et bien tu vas vite te rendre compte que:

(je te laisse bricoler, y'a rien de bien méchant...)

D'où où les _k (k=1,...,n) sont les racines de P.

Dans le poste précédent, il faut bien entendu lire décompostion dans et non dans


3) Décomposition dans de:



. La décomposition de dans va donc être de la forme:

(*)

Pour déterminer a, multiplication des deux membres de (*) par puis l'on assigne à X la valeur 1.



Pour déterminer c, on assigne à X la valeur 0 et l'on obtient:



Pour déterminer b, on assigne à X une autre valeur quelconque; disons -1 par commodité de calculs... on obtient b=c. D'où



Bon et là je me rends compte qu'il grand temps de faire dodo... Donc je te souhaite bon courage.

Tu auras sans doute doute remarqué que j'utilise beaucoup l'assignation de valeurs à X pour déterminer les constantes alors que l'on pourrait très bien procéder par identification des coefficients. Mais bon, selon moi, l'assignation rend les calculs plus aisés et minimisent donc le risque de faire des erreurs de calculs.

J'essaye de repasser bientôt voir comment ca roule pour toi (notamment si tu réussis à faire les deux dernières) Mais bon je me fais pas trop de souci, une fois que t'as pris le pli, y'a rien de bien sorcier...

Bonne chance.