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Niveau Maths sup
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Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples

Posté par
Kanzaki
19-10-11 à 20:34

Bonsoir,

Je bloque vraiment sur cette question avec une fraction polynomiale un peu tordue:
Decomposition d\'une fraction rationnelle en éléments simples

En gros je coche les cases avec des dénominateurs qui vont en montant (cad la X4, la X3, la X2, la X, puis les deux dénominateur l'un puissance 1 et l'autre puissance 2) de sorte qu'on ai toutes les puissances en dénominateur.

Le problèmes c'est qu'après je remplace X par 2 ou 1 dans l'expression donnée puis celle que j'ai trouvé pour vérifier que c'est bon mais je n'obtiens jamais le même résultat pour les deux!! J'ai même essayé en cochant d'autres réponses rien y fait en remplacant par 2 je n'obtiens jamais la même chose!!


Je vous prie de me répondre au plus vite les partiels approchent

Merci beaucoup!

Posté par
geo3
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 19-10-11 à 21:39

Bonsoir
1/[x^4(x²+x+1)²] =
(-x-1)/(x²+x+1)²   +  (-2x-3)/((x²+x+1) + 1/x^4 - 2/x³ + 1/x² + 2/x
A+

Posté par
Kanzaki
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 19-10-11 à 21:41

Merci beaucoup.

Tu n'aurai pas une méthode rapide pour déterminer les constantes au numérateur pour ces fractions à pôle multiple?

Merci

Posté par
geo3
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 19-10-11 à 22:04

Re
Une méthode oui ( rapide c'est moins sûr)
On écrit
1/[x^4(x²+x+1)²] =
(ax+b)/(x²+x+1)²   +  (cx+d)/((x²+x+1) + e/x^4 + f/x³ + g/x² + h/x
et on identifie (réduire au même dénominateur  ....: 8 inconnues)
on peut aussi donner des valeurs judicieuses à x  1,2, i ,-i sauf 0 )
A+

Posté par
Kanzaki
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 19-10-11 à 22:15

Merci beaucoup et bonne soirée

Posté par
Kanzaki
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 19-10-11 à 23:40

Erf j'y arrive vraiment pas stp est-ce que tu peux me faire l'exemple étape par étape? J'en serais infiniment reconnaissant.

J'y arrive avec des fractions à dénominateurs "simples" (genre (X-1)(X+1)(X2+1) ou équivalent..) mais là je rame.

Merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 20-10-11 à 13:18

Bonjour, et puis il faut utiliser des astuces genre multiplier les deux cotés de 1/[x^4(x²+x+1)²] =
(ax+b)/(x²+x+1)² + (cx+d)/((x²+x+1) + e/x^4 + f/x³ + g/x² + h/x par x4 et faire x = 0 à droite ça fait e et à gauche 1 donc e=1

ou encore multiplier gauche et droite par (x²+x+1)² et faire x=j ;
multiplier par x et faire tendre x vers + l'infini donne 0 = a+c

Posté par
carpediem
re : Decomposition d'une fraction rationnelle en éléments simple 20-10-11 à 15:13

salut

se donner le résultat en x = -1 permet d'avoir pas mal de chose aussi très simplement .....

et plut^to que j pourquoi ne pas prendre x = i aussi tout simplement .....



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