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Décomposition de Gauss d'une forme quadratique
Salut 
Si j'ai : et que je veux réduire cette expression sous la somme de carrés, quelle est la méthode ?
J'ai bien une démonstration sur la décomposition de Gauss, mais c'est bourré d'indices...et donc totalement indigeste !
Merci
Bonjour 
Méthode : tu essais d'abord d'absorber tout les x et après tu improvise selon comment ça se passe 
:D
Ici :
q(x,y,z) = 2[x²-2xy] - y² - 8yz
q(x,y,z) = 2[(x-y)²-y²] - y² - 8yz
q(x,y,z) = 2(x-y)² - 3y² - 8yz
q(x,y,z) = 2(x-y)² -3.(y-(4/3).z)² + (16/3)z²
Sauf erreurs :D
re
L'idée est de réduire le nombre de variable en utilisant des identités remarquables (pour faire apparaitre les fameux carrés).
Par exemple, pour faire disparaitre x, on rassemble tous les termes en x et on fait apparaitre un carré.
Tant qu'il y a des carrés, n fait la même chose.
Ici, on isole les termes en x :
.
Tu continues ?
Kaiser
Merci lyonnais !
Effectivement, dans chaque exemple on absorbe les x !
En fait j'ai jamais étudié les formes quadratiques malheureusement, et je m'aperçois qu'on s'en sert souvent
re romain
après tu improvise selon comment ça se passe
le problème, c'est lorsque l'on a affaire à une forme quadratique sans carré, auquel cas, l'improvisation mène inévitablement à s'arracher les cheveux, si on ne connait pas la méthode.
Kaiser
Exact
Salut Kaiser :D
Oui, souvent il faut utiliser le fait que :
xy = (1/4).[(x+y)²-(x-y)²]
Si je me souviens bien ...
Bonjour fusionfroide (j'avais oublié sur l'autre topic).
¤ Tu regardes s'il y a des termes carrés. Ici, oui : 2x²
¤ Tu calcules alors (dérivée partielle par rapport à x)
Cela te donne : 2x² - 4xy + 2y²
Tu effectues la différence :
q(x) - (2x² - 4xy + 2y²) = -3y² - 8yz
Il ne doit plus rester de termes en x : c'est une forme quadratique sur (y,z). En principe, on recommence avec la dérivée partielle par rapport à y. Ici, c'est un peu dommage. On est capable de faire apparaître des carrés par la forme canonique.
En rassemblant les morceaux :
Bonjour Raymond
Exact, faute de frappe dans ma réponse, c'est bien :
q(x,y,z) = 2(x-y)² -3.(y+(4/3).z)² + (16/3)z²
Sinon, avec la réponse que j'avais donnée, on obtient :
q(x,y,z) = 2x² - 4xy - y² + 8yz
Bonne journée
je voi pas comment il a obtenu le premier morceau avc la methode de Raymond sinn j'aime bien la methode de raymond mais sa marche tjr???
M.RAYMOND la methode des derive partiel donc marche tjr?et vous avez pas un cours qui detail bien cette methode?merci de repondre
j'ai cette forme quadratique M Raymon :Q(x)=xy+yz+2xZ+2y^2+2z^2+x^2 j'ai ess votre la methode avec la derive partiel mais je n y arrive pa...
Désolé, j'ai mal lu ton énoncé, j'ai compris que les termes carrés étaient : 2y² + 2z² + 2x².
Si c'est 2y² + 2z² + x², tu as entièrement raison.
ouii c'est bien sa mais je veu dire apres si j'ai toujour un terme en X apres avoir fais la différence je fais comment?
moi je trouve apres avoir fai la difference:
Q(X)-1/2(1/2 Q'x)^2=X2 - 3/2 Z^2 + 17/_ y^2 + XZ + yz/2 + xy/2
C'est barbare qd mm lol
Impossible.
Tous les termes contenant x disparaissent (c'est prouvé dans le site que je t'ai donné en référence).
Je vois ton erreur : comme c'est 1.x² et non pas 2.x², tu ne dois pas multiplier par (1/2) .
C'est évident puisque tu veux bien sûr retrouver x² !!
bonjour
excusez moi de vous deranger pouvez vous maider silvoupler c un dm de maths pour dm de troisieme le theme est aire d un triangle merci de m aide
salut
j'ai une forme quadra de ce type:
Q(a,b,c)= 2ab + 4ac + 2b² + 6bc + 4c²
Le résultat de mon prof est (2c + a + (3/2)b)² - (a + (b/2))²
Le seul moment ou je retrouve ce résultat c'est en appliquant les dérivées partielles successives en commencant par a.
Mais,je pense qu'on ne peut pas faire ça étant donné qu'il n'y a pas de "a²".Il faut utiliser la formule ab=(1/4)[(a+b)²-(a-b)²] non?
Mais quand je fais ca le résultat n'est pas du tout le même donc je comprends pas.
Merci de votre aide.
Bonjour
La décomposition n'étant pas unique, on peut très bien trouver un autre résultat que le "prof"!
On peut très bien commencer par c!
on peut très bien trouver un autre résultat que le "prof"!
Effectivement. En fait, c'est la même forme quadratique, mais dans une base différente.
Il y a tout de même quelque chose qui ne change pas: le rang et la signature de la forme.
En clair,le nombre de carrés, et le nombre de coefficients positifs et négatifs devant les carrés.
Par exemple dans le résultat de ton prof, il y a 2 carrés (rang 2) et la signature est (1;1) car le premier carré a un coefficient positif et le deuxième a un coefficient négatif.
Merci pour vos explications.Donc en résumé on peut trouver un résultat différents dans les carrés.Tant qu'on développe et qu'on retombe sur la forme quadratique du début,c'est bon?
Par contre j'ai une autre forme quadratique a mettre en carré mais dans celle-ci il n'y a pas de carrés.
La voici:
Q(x,y,z)= xy + xz + yz
Si on pose x'=(x+y)/2
y'=(x-y)/2
On obtient x=x'+y'
y=x'-y'
On remplace et donc Q(x,y,z)=(x')²-(y')² + ... (pareil pr les autres variables)
puis Q(x,y,z)=2[(x')²-(y')²]
DONC sign(q)=(1,1)
Or mon "prof" trouve (1,2) et un résultat différent
Faites moi signe le plu vite possible si vous pouvez etant donné que j'ai un controle a 15h!
Merci!!
Bonjour,
Oh là là, ça ne va pas du tout, Camelia ! Comment tu continues après ? Il te reste yz et tu vas te retrouver avec 4 carrés pour une forme quadratique en 3 variables.
Donc, il ne faut pas faire comme ça, mais commencer par faire disparaître en même temps deux variables, disons x et y, en isolant un produit constante 
(x + quelque chose) (y + quelque chose). Ici :
xy+yz+zx = (x+z)(y+z) - z2
C'est seulement ensuite qu'on transforme le produit (x+z)(y+z) en différence de carrés
Oui, j'en trouve quatre, et il est immédiat que l'une des dernières est combinaison linéaire des autres...
Et donc tu n'a pas une décomposition en carrés de formes linéaires linéairement indépendantes : c'est raté !
Et alors ? Tu prétends que la forme quadratique de départ se décompose à l'aide des carrés des formes quadratiques x+y+z, x-y-z et y-z ? Peux-tu me dire comment ?
Ce qu'il y a de bien avec les maths : on finit toujours par se mettre d'accord, entre personnes de bonne foi
Cette forme xy + yz + zx est l'exemple type du cas piégeux de la méthode de Gauss.
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