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Décomposition de Gauss d'une forme quadratique

Posté par
fusionfroide
09-03-08 à 12:37

Salut

Si j'ai : q(x,y,z)=2x^2-y^2-4xy-8yz et que je veux réduire cette expression sous la somme de carrés, quelle est la méthode ?

J'ai bien une démonstration sur la décomposition de Gauss, mais c'est bourré d'indices...et donc totalement indigeste !

Merci

Posté par
lyonnais
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:46

Bonjour

Méthode : tu essais d'abord d'absorber tout les x et après tu improvise selon comment ça se passe :D

Ici :

q(x,y,z) = 2[x²-2xy] - y² - 8yz

q(x,y,z) = 2[(x-y)²-y²] - y² - 8yz

q(x,y,z) = 2(x-y)² - 3y² - 8yz

q(x,y,z) = 2(x-y)² -3.(y-(4/3).z)² + (16/3)z²

Sauf erreurs :D

Posté par
kaiser Moderateur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:47

re

L'idée est de réduire le nombre de variable en utilisant des identités remarquables (pour faire apparaitre les fameux carrés).

Par exemple, pour faire disparaitre x, on rassemble tous les termes en x et on fait apparaitre un carré.
Tant qu'il y a des carrés, n fait la même chose.
Ici, on isole les termes en x :

\Large{2x^2-4xy=2(x^2-2xy)=2(x-y)^2-2y^2}.

Tu continues ?


Kaiser

Posté par
fusionfroide
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:48

Merci lyonnais !

Effectivement, dans chaque exemple on absorbe les x !

En fait j'ai jamais étudié les formes quadratiques malheureusement, et je m'aperçois qu'on s'en sert souvent

Posté par
fusionfroide
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:49

Merci kaiser !

J'attire tout le monde aujourd'hui

Posté par
kaiser Moderateur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:49

re romain

Citation :
après tu improvise selon comment ça se passe


le problème, c'est lorsque l'on a affaire à une forme quadratique sans carré, auquel cas, l'improvisation mène inévitablement à s'arracher les cheveux, si on ne connait pas la méthode.

Kaiser

Posté par
lyonnais
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:53

Exact

Salut Kaiser :D

Oui, souvent il faut utiliser le fait que :

xy = (1/4).[(x+y)²-(x-y)²]

Si je me souviens bien ...

Posté par
raymond Correcteur
Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:54

Bonjour fusionfroide (j'avais oublié sur l'autre topic).

¤ Tu regardes s'il y a des termes carrés. Ici, oui : 2x²

¤ Tu calcules alors 3$\textrm\fra{1}{2}(\fra{1}{2}q_x^')^2 (dérivée partielle par rapport à x)

Cela te donne : 2x² - 4xy + 2y²

Tu effectues la différence :

q(x) - (2x² - 4xy + 2y²) = -3y² - 8yz

Il ne doit plus rester de termes en x : c'est une forme quadratique sur (y,z). En principe, on recommence avec la dérivée partielle par rapport à y. Ici, c'est un peu dommage. On est capable de faire apparaître des carrés par la forme canonique.

3$\textrm -3y^2-8yz = -3(y^2 + \fra{8}{3}yz) = -3[(y+\fra{4}{3}z)^2 - \fra{16}{9}z^2] = -3(y+\fra{4}{3}z)^2 + \fra{16}{3}z^2

En rassemblant les morceaux :

3$\textrm\fbox{q(x) = 2(x-y)^2 - 3(y+\fra{4}{3}z)^2 + \fra{16}{3}z^2}

Posté par
fusionfroide
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 12:58

Cool, merci raymond !

Posté par
lyonnais
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 13:00

Bonjour Raymond

Exact, faute de frappe dans ma réponse, c'est bien :

q(x,y,z) = 2(x-y)² -3.(y+(4/3).z)² + (16/3)z²

Sinon, avec la réponse que j'avais donnée, on obtient :

q(x,y,z) = 2x² - 4xy - y² + 8yz

Bonne journée

Posté par
fusionfroide
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 09-03-08 à 17:00

Merci à vous trois

Posté par
moustache13
decomposition de gauss 14-05-08 à 16:18

je voi pas comment il a obtenu le premier morceau avc la methode de Raymond sinn j'aime bien la methode de raymond mais sa marche tjr???

Posté par
raymond Correcteur
decomposition de gauss 14-05-08 à 16:23

Bonjour.

La méthode de Gauss fonctionne toujours.

Posté par
moustache13
decompostion de gauss 14-05-08 à 16:29

M.RAYMOND la methode des derive partiel donc marche tjr?et vous avez pas un cours qui detail bien cette methode?merci de repondre

Posté par
raymond Correcteur
decompostion de gauss 14-05-08 à 16:46

Tu peux regarder un site en cliquant sur la maison :

Posté par
moustache13
décomposition de gauss 14-05-08 à 17:01

j'ai cette forme quadratique M Raymon :Q(x)=xy+yz+2xZ+2y^2+2z^2+x^2 j'ai ess votre la methode avec la derive partiel mais je n y arrive pa...

Posté par
raymond Correcteur
décomposition de gauss 14-05-08 à 17:22


3$\textrm\fra{1}{2}Q^'_x(X) = 2x + \fra{1}{2}y + z

3$\textrm\fra{1}{2}[\fra{1}{2}Q^'_x(X)]^2 = \fra{1}{2}(2x + \fra{1}{2}y + z)^2

3$\textrm Q(X) - \fra{1}{2}[\fra{1}{2}Q^'_x(X)]^2 = \fra{15}{8}y^2 + \fra{3}{2}z^2 + \fra{1}{2}yz

Posté par
moustache13
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 17:27

c'est pas plutot:

1/2 Q'(x)= X + 1/2y + Z ???

Posté par
raymond Correcteur
décomposition de gauss 14-05-08 à 17:30

Désolé, j'ai mal lu ton énoncé, j'ai compris que les termes carrés étaient : 2y² + 2z² + 2x².

Si c'est 2y² + 2z² + x², tu as entièrement raison.

Posté par
moustache13
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 17:32

ouii c'est bien sa mais je veu dire apres si j'ai toujour un terme en X apres avoir fais la différence je fais comment?

Posté par
moustache13
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 17:41

moi je trouve apres avoir fai la difference:

Q(X)-1/2(1/2 Q'x)^2=X2 - 3/2 Z^2 + 17/_ y^2 + XZ + yz/2 + xy/2

C'est barbare qd mm lol

Posté par
raymond Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 17:43

Impossible.

Tous les termes contenant x disparaissent (c'est prouvé dans le site que je t'ai donné en référence).

3$\textrm [\fra{1}{2}Q^'_x(X)]^2 = (x + \fra{1}{2}y + z)^2 = x^2 + \fra{1}{4}y^2 + z^2 + xy + 2xz + yz

Posté par
raymond Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 17:45

Je vois ton erreur : comme c'est 1.x² et non pas 2.x², tu ne dois pas multiplier par (1/2) .

C'est évident puisque tu veux bien sûr retrouver x² !!

Posté par
moustache13
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 17:49

donc je doir seulment faire [1/2 Q'(x)]^2?? ouii j voi t as bien raison merci beaucoup Raymond

Posté par
auredeh59
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 18:32

bonjour

excusez moi de vous deranger pouvez vous maider silvoupler c un dm de maths pour dm de troisieme le theme est aire d un triangle merci de m aide

salut

Posté par
moustache13
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 18:52

raymond si on 3X^2 par example es ce que sa sras 1/3*(1/2 Q'(x))^2????

Posté par
raymond Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 20:09

Oui.

Posté par
moustache13
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 20:44

merci bc raymond bone soirée

Posté par
raymond Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-05-08 à 22:43

Bonne soirée à toi également.

Posté par
manuman
forme quadra 15-05-08 à 20:50

j'ai une forme quadra de ce type:

Q(a,b,c)= 2ab + 4ac + 2b² + 6bc + 4c²


Le résultat de mon prof est (2c + a + (3/2)b)² - (a + (b/2))²


Le seul moment ou je retrouve ce résultat c'est en appliquant les dérivées partielles successives en commencant par a.
Mais,je pense qu'on ne peut pas faire ça étant donné qu'il n'y a pas de "a²".Il faut utiliser la formule ab=(1/4)[(a+b)²-(a-b)²] non?
Mais quand je fais ca le résultat n'est pas du tout le même donc je comprends pas.
Merci de votre aide.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 16-05-08 à 15:35

Bonjour

La décomposition n'étant pas unique, on peut très bien trouver un autre résultat que le "prof"!
On peut très bien commencer par c!

4c^2+4ac+6bc+2b^2+2ab=(2c+a+(3/2)b)^2+...

Posté par
jeanseb
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 16-05-08 à 23:36

Citation :
on peut très bien trouver un autre résultat que le "prof"!


Effectivement. En fait, c'est la même forme quadratique, mais dans une base différente.

Il y a tout de même quelque chose qui ne change pas: le rang et la signature de la forme.

En clair,le nombre de carrés, et le nombre de coefficients positifs et négatifs devant les carrés.

Par exemple dans le résultat de ton prof, il y a 2 carrés (rang 2) et la signature est (1;1) car le premier carré a un coefficient positif et le deuxième a un coefficient négatif.

Posté par
manuman
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 20-05-08 à 11:07

Merci pour vos explications.Donc en résumé on peut trouver un résultat différents dans les carrés.Tant qu'on développe et qu'on retombe sur la forme quadratique du début,c'est bon?
Par contre j'ai une autre forme quadratique a mettre en carré mais dans celle-ci il n'y a pas de carrés.
La voici:

Q(x,y,z)= xy + xz + yz

Si on pose x'=(x+y)/2
           y'=(x-y)/2

On obtient x=x'+y'
           y=x'-y'

On remplace et donc Q(x,y,z)=(x')²-(y')² + ...   (pareil pr les autres variables)

puis Q(x,y,z)=2[(x')²-(y')²]

DONC sign(q)=(1,1)
Or mon "prof" trouve (1,2) et un résultat différent

Faites moi signe le plu vite possible si vous pouvez etant donné que j'ai un controle a 15h!
Merci!!

Posté par
manuman
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 20-05-08 à 11:11

Ok probleme résolu!!
Bone journée

Posté par
LeDragon
Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 13-03-11 à 22:15

mais . je veux savoirs comment la décomposée correctement    
Q(x,y,z)= xy + xz + yz
s'il vous plais

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:26

BONJOUR

Tu commences par xy+xz=x(y+z)=\frac{(x+y+z)^2}{4}-\frac{(x-y-z)^2}{4}

Posté par
GaBuZoMeu
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:38

Bonjour,

Oh là là, ça ne va pas du tout, Camelia ! Comment tu continues après ? Il te reste yz et tu vas te retrouver avec 4 carrés pour une forme quadratique en 3 variables.

Donc, il ne faut pas faire comme ça, mais commencer par faire disparaître en même temps deux variables, disons x et y, en isolant un produit constante (x + quelque chose) (y + quelque chose). Ici :

xy+yz+zx = (x+z)(y+z) - z2

C'est seulement ensuite qu'on transforme le produit (x+z)(y+z) en différence de carrés

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:40

Oui, j'en trouve quatre, et il est immédiat que l'une des dernières est combinaison linéaire des autres...

Posté par
GaBuZoMeu
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:42

Et donc tu n'a pas une décomposition en carrés de formes linéaires linéairement indépendantes : c'est raté !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:46

Mais si... y+z=((x+y+z)-(x-y-z))/2 et (x+y+z), (x-y-z) et y-z sont indépendantes!

Posté par
GaBuZoMeu
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:52

Et alors ? Tu prétends que la forme quadratique de départ se décompose à l'aide des carrés des formes quadratiques x+y+z, x-y-z et y-z ? Peux-tu me dire comment ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 14:53

formes linéaires x+y+z, x-y-z et y-z, bien sûr.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 15:10

Tu as raison!

Posté par
GaBuZoMeu
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 15:20

Ce qu'il y a de bien avec les maths : on finit toujours par se mettre d'accord, entre personnes de bonne foi

Cette forme xy + yz + zx est l'exemple type du cas piégeux de la méthode de Gauss.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 15:30

C'est surtout que je suis plutôt rouillée...

Posté par
GaBuZoMeu
re : Décomposition de Gauss d'une forme quadratique 14-03-11 à 15:53

Comme c'est l'exercice que je pose systématiquement aux agrégatifs, je ne l'oublie pas (contrairement à beaucoup d'autres choses ).



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