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Décomposition en base 5

Posté par
intiss 22-03-21 à 13:59

Bonjour, j'ai du mal à faire un exercice. Pouvez-vous m'aider svp?
Voici l'enoncé:

Pour x ∈ [0, 1], on note (x)5 la décomposition de x en base 5, qui s'écrit
(x)5 = 0, x1x2....xn... avec pour tout n ≥ 1, xn ∈ {0, 1, ..., 4}.

a) Représenter graphiquement l'ensemble E défini par
E = {x ∈ [0, 1] : (x)5 ne contient que des 2 et des 4}.

b) Que vaut la mesure de Lebesgue de E

Posté par
ty59847re : Décomposition en base 5 22-03-21 à 14:29

Mesure de Lebesque, je ne vais pas savoir t'aider, j'ai complètement oublié ce que c'était.

Pour la question a) , E est un ensemble de points, entre 0 et 1.
Pour nous embêter, ils nous ont collé une décomposition en base 5. On n'est pas trop habitué à compter en base 5 !

Pour essayer de visualiser la chose, on va déjà visualiser les nombres entre 0 et 1, qui s'écrivent en base 10 classique, avec uniquement des 3 et des 7 par exemple :
0.3, 0.7,  0.33, 0.37, 0.73, 0.77 , 0.333 etc etc etc ...

Bon, on voit à peu près à quoi ça peut ressembler.
Représenter ça graphiquement ... je vois mal ce qu'ils attendent. On va vaguement dessiner quelques points sur un segment.
Placer les points 0.3 et 0.7 sur un segment entre 0 et 1, çe n'est pas passionnant. Mais quand on bascule en base 5, ça devient un exercice un peu plus délicat. C'est probablement ça le sel de cette question.

Placer les points 0.2, 0.4, 0.22, 0.24, 0.42, 0.44  sur le segment[0,1]  sachant que tout ça, c'est exprimé en base 5.
A toi de bien les placer, est-ce que 0.42 est vers le milieu, est-ce qu'il est très proche d'une des 2 extrémités ...
Ca doit être ça, le challenge de cette question.

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en base 5 22-03-21 à 14:59

bonjour

énoncé incohérent

1 ne s'écrit pas sous la forme 0, ... en base 5

donc on travaille sur [0 ; 1 [ et pas sur [0 ; 1]

Posté par
carpediemre : Décomposition en base 5 22-03-21 à 18:56

salut

en base 10 un nombre x de l'intervalle [0, 1[ s'écrit x = \sum_1^{+\infty} c_k 10^{-k} avec c_k \in \{0, 1, ..., 8, 9\} (un chiffre décimal)

et pour tout n la troncature de x à l'ordre n x_n = \sum_1^n c_k 10^{-k} appartient à l'un des 10^n intervalles [p.10^{-n}, (p + 1). 10^{-n}[ avec 0 \le p \le 10^n - 1

en base 5 un nombre x de l'intervalle [0, 1[ s'écrit x = \sum_1^{+\infty} c_k 5^{-k} avec c_k \in \{0, 1, 2, 3, 4\} (un chiffre "cinqual"  )

et pour tout n la troncature de x à l'ordre n x_n = \sum_1^n c_k 5^{-k}  appartient à l'un des 5^n intervalles [p.5^{-n}, (p + 1). 5^{-n}[ avec 0 \le p \le 5^n - 1

...

Posté par
DOMOREADécomposition en base 5 22-03-21 à 19:02

bonjour,
Peux-tu trouver un intervalle fermé de [0,1[ non réduit à un point qui serait inclus dans E?

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 22-03-21 à 21:35

ty59847 @ 22-03-2021 à 14:29

Mesure de Lebesque, je ne vais pas savoir t'aider, j'ai complètement oublié ce que c'était.

Pour la question a) , E est un ensemble de points, entre 0 et 1.
Pour nous embêter, ils nous ont collé une décomposition en base 5. On n'est pas trop habitué à compter en base 5 !

Pour essayer de visualiser la chose, on va déjà visualiser les nombres entre 0 et 1, qui s'écrivent en base 10 classique, avec uniquement des 3 et des 7 par exemple :
0.3, 0.7,  0.33, 0.37, 0.73, 0.77 , 0.333 etc etc etc ...

Bon, on voit à peu près à quoi ça peut ressembler.
Représenter ça graphiquement ... je vois mal ce qu'ils attendent. On va vaguement dessiner quelques points sur un segment.
Placer les points 0.3 et 0.7 sur un segment entre 0 et 1, çe n'est pas passionnant. Mais quand on bascule en base 5, ça devient un exercice un peu plus délicat. C'est probablement ça le sel de cette question.

Placer les points 0.2, 0.4, 0.22, 0.24, 0.42, 0.44  sur le segment[0,1]  sachant que tout ça, c'est exprimé en base 5.
A toi de bien les placer, est-ce que 0.42 est vers le milieu, est-ce qu'il est très proche d'une des 2 extrémités ...
Ca doit être ça, le challenge de cette question.


Si je comprends bien, je dois representer tous les nombres ayant 2 et 4 donc 0.2222; 0.2424 etc?

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 22-03-21 à 21:36

matheuxmatou @ 22-03-2021 à 14:59

bonjour

énoncé incohérent

1 ne s'écrit pas sous la forme 0, ... en base 5

donc on travaille sur [0 ; 1 [ et pas sur [0 ; 1]


Effectivement, vous avez raison, merci

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 22-03-21 à 21:39

carpediem @ 22-03-2021 à 18:56

salut

en base 10 un nombre x de l'intervalle [0, 1[ s'écrit x = \sum_1^{+\infty} c_k 10^{-k} avec c_k \in \{0, 1, ..., 8, 9\} (un chiffre décimal)

et pour tout n la troncature de x à l'ordre n x_n = \sum_1^n c_k 10^{-k} appartient à l'un des 10^n intervalles [p.10^{-n}, (p + 1). 10^{-n}[ avec 0 \le p \le 10^n - 1

en base 5 un nombre x de l'intervalle [0, 1[ s'écrit x = \sum_1^{+\infty} c_k 5^{-k} avec c_k \in \{0, 1, 2, 3, 4\} (un chiffre "cinqual"  )

et pour tout n la troncature de x à l'ordre n x_n = \sum_1^n c_k 5^{-k}  appartient à l'un des 5^n intervalles [p.5^{-n}, (p + 1). 5^{-n}[ avec 0 \le p \le 5^n - 1

...


Je ne comprends pas pourquoi ça appartient à cet intervalle

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 22-03-21 à 21:46

DOMOREA @ 22-03-2021 à 19:02

bonjour,
Peux-tu trouver un intervalle fermé de [0,1[ non réduit à un point qui serait inclus dans E?


Je pense à [0.2222;0.4444]

Posté par
ty59847re : Décomposition en base 5 22-03-21 à 23:16

Entre 0.2222 et 0.4444, il y a par exemple 0.3333, ou encore 0.4100040122  qui ne conviennent pas.

Relis la question de domorea , il met du conditionnel .. penses-tu qu'il est possible de trouver un intervalle non réduit à un point, qui serait inclus dans E ?

Reviens à la 1ère question : Représenter TOUS les nombres .... ...
Non. Impossible. Il y a une infinité de nombre dans cet ensemble.  Par exemple, le nombre 0.22222422222242424242424444444444442444244424442444444, il est dans ce fameux ensemble.
Recense déjà tous les nombres qui ont au maximum 3 décimales.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en base 5 22-03-21 à 23:24

Bonjour

\Large \boxed{a} La représentation graphique de l'ensemble E ressemble à celle de l'ensemble triadique de Cantor :

On divise l'intervalle [0,1[ par 5 et on ne garde que celui du milieu et le dernier soit \Large \boxed{E_1=\left[\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right[\cup\left[\frac{4}{5},1\right[}

On procède de même pour les deux intervalles \left[\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right[ et \left[\frac{4}{5},1\right[ soit \Large \boxed{E_2=\left[\frac{12}{25},\frac{13}{25}\right[\cup\left[\frac{14}{25},\frac{15}{25}\right[\cup\left[\frac{22}{25},\frac{23}{25}\right[\cup\left[\frac{24}{25},1\right[}

On obtient ainsi une suite décroissante d'ensembles \Large \left(E_n\right)_{n\geqslant1} où chaque E_n} est réunion disjointe de 2^n intervalles de la forme [\frac{a}{5^n},\frac{a+1}{5^n}[

On peut alors montrer que \Large \blue\boxed{\displaystyle E=\cap_{n\geqslant1}E_n}


\Large \boxed{b} Notons \mu la mesure de Lebesgue de \mathbb R.

\Large \boxed{\mu(E)=\lim_{n} \mu(E_n)=\lim_n\left(\frac{2}{5}\right)^n=0} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
DOMOREADécomposition en base 5 23-03-21 à 10:47

bonjour,
Puisque ethor_abdelali a répondu, voici une réponse (sauf erreur) pour la mesure de Lebesgue de E qui est donc 0

Une remarque: un nombre de E s'écrit \sum_{n\in I}\frac{2^{n+1}}{10^n}+\sum_{n\in J}\frac{2^{n+2}}{10^n} ou I\subset \mathbb{N}, J\subset\mathbb{N}; I\cap J=\emptyset et I\cup J=\mathbb{N}-\{0,1\} les termes des  2 sommes représentent les 2 et les 4 respectivement.

Supposons qu'il existe un intervalle [a,b] , a<b inclus dans E , Soit p le le rang du  premier élément des suites caractérisant a et b qui diffère dans les suites
respectives (a_n) et (b_n) de a et b ,alors on a  ou a_p=2 et b_p=4

a_p correspond en décimal à \frac{2^{k+1}}{10^k}  et b_p correspond en décimal à \frac{2^{k+2}}{10^k}
on remplace le terme a_p par \frac{2^{k+1}+1}{10^k} soit x le nombre réel ainsi défini a<x<b et x\notin E
donc [a,b] n'est pas inclus dans E

Posté par
DOMOREADécomposition en base 5 23-03-21 à 10:56

à la 2ème ligne c'est \mathbb{N}^* et non pas \mathbb{N}-\{0,1\}

Posté par
ty59847re : Décomposition en base 5 23-03-21 à 14:51

Sur la mesure de Lebesgue, je pense que la réponse de elhor_abdelali est totalement fausse.

Posté par
ty59847re : Décomposition en base 5 23-03-21 à 14:52

0 comme réponse finale, oui,ça je suis complètement d'accord. Mais pas du tout sur le raisonnement pour y arriver.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en base 5 23-03-21 à 22:55

Bonjour,

DOMOREA \to Le fait qu'un sous-ensemble de \mathbb R ne contienne aucun intervalle [a,b]~,~a<b n'implique pas qu'il soit de mesure de Lebesgue nulle :

prends par exemple \Large \boxed{A=\left(\mathbb R\smallsetminus\mathbb Q\right)\cap[0,1]~~,~~B=\mathbb Q\cap[0,1]}

on a clairement \Large \boxed{A\cap B=\emptyset~~,~~A\cup B=[0,1]} et donc \Large \boxed{\mu(A)+\mu(B)=1}

et comme tout sous-ensemble dénombrable de \mathbb R est de mesure de Lebesgue nulle, on a \Large \boxed{\mu(B)=0~~,~~\mu(A)=1}

et pourtant l'ensemble A ne contient aucun intervalle [a,b]~,~a<b du fait de la densité de \mathbb Q dans \mathbb R sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 00:13

elhor_abdelali @ 22-03-2021 à 23:24

Bonjour

\Large \boxed{a} La représentation graphique de l'ensemble E ressemble à celle de l'ensemble triadique de Cantor :

On divise l'intervalle [0,1[ par 5 et on ne garde que celui du milieu et le dernier soit \Large \boxed{E_1=\left[\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right[\cup\left[\frac{4}{5},1\right[}

On procède de même pour les deux intervalles \left[\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right[ et \left[\frac{4}{5},1\right[ soit \Large \boxed{E_2=\left[\frac{12}{25},\frac{13}{25}\right[\cup\left[\frac{14}{25},\frac{15}{25}\right[\cup\left[\frac{22}{25},\frac{23}{25}\right[\cup\left[\frac{24}{25},1\right[}

On obtient ainsi une suite décroissante d'ensembles \Large \left(E_n\right)_{n\geqslant1} où chaque E_n} est réunion disjointe de 2^n intervalles de la forme [\frac{a}{5^n},\frac{a+1}{5^n}[

On peut alors montrer que \Large \blue\boxed{\displaystyle E=\cap_{n\geqslant1}E_n}


\Large \boxed{b} Notons \mu la mesure de Lebesgue de \mathbb R.

\Large \boxed{\mu(E)=\lim_{n} \mu(E_n)=\lim_n\left(\frac{2}{5}\right)^n=0} sauf erreur de ma part bien entendu


Merci:D

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 00:24

Pour la Mesure de Lebesgue, j'ai pensé à:
comme les En sont des reunions denombrables d'ensemble dénombrables alors ils sont denombrables
Et E=En donc il est egalement denombrable.
Or on sait tout ensemble denombrable A est borelien de meseure (A)=0
Donc (E)=0

Mais je ne suis pas sur du raisonnement

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 00:43

ty59847 \to En mathématiques il y a toujours risque de se tromper


je détaille ma réponse :


\Large \boxed{a} L'ensemble \Large \boxed{E=\left\{x\in[0,1[~:~(x)5~ne~contient~que~des~2~et~des~4\right\}} de l'énoncé de intiss

peut aussi s'écrire \Large \boxed{E=\Left\{x=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{5^k}~~,~~a_k\in\{2,4\}~~et~~(a_k)~~n'est~~pas~~stationnaire~~sur~~4\Right\}}

par exemple le nombre \Large \frac{3}{5}=0,6 en base 10, admet en base 5 deux développements :


l'un impropre \Large \frac{3}{5}=0,24444..... et l'autre propre \Large \frac{3}{5}=0,3, par conséquent il n'est pas dans E.


On voit alors que : \Large \boxed{x\in E~ \Longrightarrow~\forall n\geqslant1~,~5^nx=\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~\underbrace{\boxed{\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{a_k}{5^{k-n}}}}_{<1}}


et donc : \Large \boxed{x\in E~ \Longrightarrow~\forall n\geqslant1~,~x\in\left[\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}}{5^n}~~,~~\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~1}{5^n}\right[}


Réciproquement on a : \Large \boxed{\forall n\geqslant1~,~x\in\left[\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}}{5^n}~~,~~\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~1}{5^n}\right[~\Longrightarrow~\forall n\geqslant1~,~a_n=E(5^nx)-5E(5^{n-1}x)}


et donc \Large \boxed{(x)5=0,a_1a_2...a_n...}


On conclut alors que : \Large \blue\boxed{E=\cap_{n\geqslant1}\cup_{(a_1,a_2,...,a_n)\in\{2,4\}^n}\left[\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}}{5^n}~~,~~\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~1}{5^n}\right[} sauf erreur bien entendu

Posté par
matheuxmatoure : Décomposition en base 5 24-03-21 à 00:47

moi ce que je remarque c'est que l'auteur participe très peu... et est-ce notre rôle de faire l'exo à sa place ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 00:50

intiss \to chaque E_n est réunion de 2^n intervalles d'amplitude \frac{1}{5^n}>0 donc en particulier aucun des E_n n'est dénombrable

Posté par
DOMOREADécomposition en base 5 24-03-21 à 13:08


bonjour,
@ ethor_abdelali
Je comprends ton argument mais explique moi ce qui me semble le paradoxe suivant:
Soit un réel de [0,1] dont la suite est écrite en base 5

Soit E_2 l'ensemble de ceux qui s'écrivent qu'avec des 2 et des 4,  soit E_3 l'ensemble de ceux qui s'écrivent qu'avec 0, des 2 et des 4, soit E_4 ceux qui s'écrivent qu'avec des 0, des 1, des  2 et des 4 .
E2\subset E3 \subset E4 \subset [0,1]on a évidement \mu(E_2)\leq\mu(E_3)\leq\mu(E_4)\leq 1

Quelle est la mesure de Lebesgue de ces trois ensembles ? c'est à dire à quel stade l'intervention d'un possible nombre choisi en supplément parmi {0,1,2,3,4} confère à l'ensemble une mesure de Lebesgue égale à 1?
E_2 joue-t-il un rôle particulier?

Posté par
GBZMre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 15:20

Bonjour,

Les trois ensembles que décrit DOMOREA sont de mesure nulle.

La base 5 est sans importance, au fond.
On peut par exemple calculer la mesure de l'ensemble des nombres dans [0,1[ qui ont au moins un 5 dans leur écriture décimale.

Posté par
carpediemre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 15:58

oui c'est ce que je disais dans mon premier msg où ce que j'ai écrit pour la base 5 n'a été qu'un copier-coller de ce que j'avais écrit pour la base 10 ... en corrigeant ce qu'il fallait corriger ...

on peut aussi remarquer que

E_2=\left[\dfrac{12}{25},\dfrac{13}{25}\right[\cup\left[\dfrac{14}{25},\dfrac{15}{25}\right[\cup\left[\dfrac{22}{25},\dfrac{23}{25}\right[\cup\left[\dfrac{24}{25},1\right[ = \left[\dfrac 2 5 + \dfrac{2}{25}, \dfrac 2 5 + \dfrac{3}{25}\right[\cup\left[\dfrac 2 5 + \dfrac{4}{25},\dfrac 2 5 + \dfrac{5}{25}\right[\cup\left[\dfrac 4 5 + \dfrac{2}{25}, \dfrac 4 5 + \dfrac{3}{25}\right[\cup\left[\dfrac 45 + \dfrac{4}{25},1\right[} est bien l'ensemble des nombres dont les deux premières décimales en base 5 ne sont que des 2 ou des 4 ...

Posté par
intissre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 21:40

Bonsoir,

E=En
   = [(ak5n-k)/5n; (ak5n-k+1)/5n]

Donc (E)=lim ( [(ak5n-k)/5n; (ak5n-k+1)/5n])

=lim 1/5n=0

C'est bien ça?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 22:56

La réunion \Large \boxed{E_n=\cup_{(a_1,a_2,...,a_n)\in\{2,4\}^n}\left[\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}}{5^n}~~,~~\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~1}{5^n}\right[} est constituée de \Large \boxed{Card\left(\{2,4\}^n\right)=2^n}


intervalles disjoints tous de mesure de Lebesgues \Large \boxed{\mu\left(\left[\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}}{5^n}~~,~~\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~1}{5^n}\right[\right)=\frac{1}{5^n}}

et donc \Large \blue\boxed{\mu(E_n)=2^n\times\frac{1}{5^n}=\left(\frac{2}{5}\right)^n}

Posté par
ty59847re : Décomposition en base 5 24-03-21 à 23:19

Dans les réponses, il y a beaucoup de messages qui s'appuient sur une interprétation de l'énoncé qui me paraît fausse.

Enoncé  alternatif 1:
Soit, En l'ensemble des nombres dont l'écriture en base 5, tronquée à n décimales, ne comporterait que des 2 et des 4 ;  étudiez la suite En

Ok, différents messages répondent à cette question. Bien ou mal, je ne sais pas.

Mais l'énoncé initial ne parle pas d'une écriture 'tronquée' à n décimales.
On ne parle pas de différents ensembles En, selon le nombre de décimales qu'on s'autoriserait ... On parle juste d'un ensemble E.

Posté par
GBZMre : Décomposition en base 5 24-03-21 à 23:43

Mais, ty59847, E est l'intersection des E_n !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Décomposition en base 5 25-03-21 à 00:16

DOMOREA \to C'est comme l'a dit GBZM, les trois ensembles que tu as décrit sont tous de mesure de Lebesgues nulle :


\Large \blue\boxed{\mu(E_4)=\mu\left(\cap_{n\geqslant1}\cup_{(a_1,a_2,...,a_n)\in\{0,1,2,4\}^n}\left[\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}}{5^n}~~,~~\frac{\sum_{k=1}^na_k5^{n-k}~+~1}{5^n}\right[\right)=\lim_n\left(\frac{4}{5}\right)^n=0}

Posté par
ty59847re : Décomposition en base 5 25-03-21 à 12:52

On peut présenter E comme l'intersection des En, effectivement.
Mais je ne pense pas que ce soit la piste attendue par l'auteur de l'exercice.

Posté par
GBZMre : Décomposition en base 5 25-03-21 à 14:13

Ah bon ? Et alors, quelle est la piste attendue, selon toi ???


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