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décomposition en éléments simples

Posté par
fusionfroide 19-01-07 à 18:53

Bonsoir tertous,

Comment décomposer en éléments simples la fraction 4$\frac{x^3+x^2+1}{x^3(x^2+1)}

Enfin, quelle est la méthode ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 18:56

Re fusionfroide

Pour celle-ci, la méthode expéditive est de dire que \Large{x^{3}+x^{2}+1=x^{3}+(x^{2}+1)} et ensuite tu décompose ta fraction en une somme de deux fractions et tu simplifies.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 18:57

ah bien vu kaiser

Merci

Sinon j'irai étudier à la BU les décompositions en éléments simples.

Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:00

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:08

Oups encore une question

Aurais-tu un indice pour calculer 4$\int \frac{1}{(1+x^2)^2} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:12

Voici mon astuce préférée !

\Large{1=(1+x^{2})-x^{2}} (mais bon, c'est seulement pour commencer le calcul).

ça n'a l'air de rien, et pourtant...:D


Kaiser

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:13



Mon prof de spé appelait ça le théorème belge !!

Désolé pour eux

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:16



N'empêche, c'est fort !

Va calculer une primitive de \Large{x\mapsto \tan^{2}(x)} sans ça ! :D

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:31

Ca marche pas mal du tout en effet, mais je ne vois pas comment calculer ensuite 4$\int\frac{x^2}{(x^2+1)^2}

Je ne peux pas réappliquer ton astuce, sinon je fais le même chemin mais en sens inverse ...

Merci

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:35

Ah j'ai peut-être trouvé !

Je te dis quoi

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:40

bah non en fait : j'avais posé u=x^2+1

Posté par
kaiser Moderateurre : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:51

Pour calculer cette dernière intégrale, il faut faire une IPP.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:51

ok je m'y met

Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 19:56

Bonsoir

3$\rm I=\Bigint \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx

En posant 3$\rm t=tan(\theta)\Rightarrow dt=(1+tan^{2}(\theta))d\theta
On a :
3$\rm I=\Bigint \frac{d\theta}{1+tan^{2}(\theta)}=\Bigint cos^{2}(\theta)d\theta qui est facilement calculable.


Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 20:03

Oups bien sûr c'est en posant x=tan(theta) etc...

Bonsoir Kaiser au passage

Posté par
fusionfroidere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 20:07

Salut Nightmare et bien vu !

Merci pour ton coup de main

Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 20:08

Avec plaisir

Posté par
kaiser Moderateurre : décomposition en éléments simples 19-01-07 à 20:40

Bonsoir Nightmare et bien vu !

et mon astuce, alors ? (je plaisante bien sûr )

Kaiser


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