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Décomposition en éléments simples

Posté par
infophile 01-06-08 à 15:14

Bonjour

Je suis pas bien réveillé donc je vais surement poser une question stupide.

J'ai fait une DES de 3$ \rm G_a(X)=\frac{1}{(X-2)(X+2)(X-a)} et on me demande d'en déduire une DES de 3$ \rm F_a(X)=\frac{1}{(X-2)(X+2)(X-a)^3}.

J'ai remarqué que si on dérive deux fois par rapport à 3$ \rm a le dénominateur de 3$ \rm F_a on retombe sur le dénominateur de 3$ \rm G_a

Je peux en faire quelque chose ?

Merci !

Posté par
Camélia Correcteurre : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 15:23

Bonjour Kevin

D'abord j'espère que a est différent de 2.

Tu peux dériver, mais ça va augmenter le degré des (X-2) au dénominateur. Sans l'avoir fait, je partirais plutôt de Fa=Ga/(X-a)2 en utilisant la décomposition de Ga.

Ceci, parce que les questions sont comme ça, sinon, rien de tel qu'une division par puissances croissantes...

Posté par
1 Schumi 1re : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 15:26

Salut,

Je ferai comme ça (je ne considère pas les cas particuliers de a).

On écrit F_a= G_a(1/(X-a)²).
On décompose G_a.
On écrit F_a sous forme "semi-décomposé".
Et on remet ça...

Posté par
infophilere : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 15:38

Bonjour

Oui c'est la première idée qui m'est venue mais c'est pas très "direct" comme déduction

J'ai donc 3$ \rm F_a(X)=\left(\frac{1}{4(a+2)(X+2)}+\frac{1}{4(2-a)(X-2)}+\frac{1}{(a-2)(a+2)(X-a)}\right)\frac{1}{(X-a)^2}

Et je me suis trompé ce qu'on veut c'est la DES de 3$ \rm F_a(X)=\frac{1}{(X-2)(X+2)(X-1)^3} ça va simplifier un peu les calculs.

Donc 3$ \rm F_a(X)=\frac{1}{12(X+2)(X-1)^2}+\frac{1}{4(X-2)(X-1)^2}+\frac{1}{3(X-1)^3}

Et je redécompose chaque fraction rationnelle ?

Posté par
1 Schumi 1re : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 15:41

Ah oui, effectivement, c'est pas génial génial comme méthode...

Posté par
Camélia Correcteurre : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 15:49

Je ne vois rien de mieux...

Posté par
lafol Moderateurre : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 16:12

Bonjour
tu es vraiment sûr de ton énoncé ? parce que appeler F_a quelque chose qui ne dépend pas de a ....
bizarre, non ?

Posté par
infophilere : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 16:15

C'est F(X) tout court

Je vous avais prévenu je suis fatigué

Posté par
infophilere : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 17:52

Il y a beaucoup plus simple en fait !

On dérive Ga deux fois par rapport à "a" et on tombe sur l'expression de F !

Posté par
fusionfroidere : Décomposition en éléments simples 01-06-08 à 18:47

Salut kévin,

Effectivement, là tu n'auras plus qu'à intégrer, c'est bien ça...

Sinon, je nai pas compris ta première méthode (premier message)

Tu peux m'expliquer ?

Merci

Posté par
infophilere : Décomposition en éléments simples 02-06-08 à 15:59

Salut

Quelle méthode ?

Posté par
fusionfroidere : Décomposition en éléments simples 02-06-08 à 20:02

là >

Citation :
J'ai remarqué que si on dérive deux fois par rapport à  le dénominateur de  on retombe sur le dénominateur de

Posté par
infophilere : Décomposition en éléments simples 04-06-08 à 15:07

Non là y'a rien à expliquer ça n'aboutissait pas, il fallait dériver toute la fraction.

Posté par
perroquetre : Décomposition en éléments simples 04-06-08 à 19:41

Bonjour, infophile

Pourtant, l'idée de la dérivation était une très bonne idée. Je développe:

3$G_a(X)=\frac{1}{(X-2)(X+2)(X-a)}= \frac{1}{4(2-a)(X-2)}-\frac{1}{4(a+2)(X+2)}+\frac{1}{(a^2-4)(X-a)}

On dérive deux fois par rapport à a cette égalité; on obtient, après avoir divisé par 2:

3$ F_a(x)=\frac{3a^2+4}{(x-a)(a-2)^3(a+2)^3}-\frac{1}{4(x-2)(a-2)^3} +\frac{1}{(x-a)^3(a-2)(a+2)} -\frac{2a}{(x-a)^2(a-2)^2(a+2)^2} +\frac{1}{4(x+2)(a+2)^3}

En fait, j'ai triché, j'ai utilisé Maple parce que ce n'est pas très agréable de faire cette double dérivation. Mais cela me parait plus rapide que toute autre idée.

Posté par
perroquetre : Décomposition en éléments simples 04-06-08 à 19:45

Après relecture de l'ensemble de la discussion, je m'aperçois que l'idée avait déjà été très bien explicitée. J'ai trouvé un moyen d'augmenter mon nombre de posts en plagiant les (excellentes) idées d'infophile

Posté par
infophilere : Décomposition en éléments simples 04-06-08 à 19:57

Bonsoir perroquet

Tes interventions sont toujours les bienvenues !


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