salut

1/[x³(x+1)] = (Ax²+BX+C)/x^x3+d/(x+1)=a/x³+b/x²+c/x+d(x+1).....

    Bonsoir ,D...   Sachant que cette décomposition peut se faire comme tu l'indiques, tu peux écrire:
    
    1 / x^3(x+1)  =  a/x^3 + b/x^2 + c/x + d /(x+1)
                  = [ a*(x+1) +b*x*(x+1) + c*x²*(x+1) + d*x^3 ]/ [(x+1)*x^3[
Tu développes le second membre, puis tu identifies les 2 numérateurs .

    Ce qui te donnera :  a = 1  :  b = -1 ; c = 1 ;  d = -1 .

Si F = 1/P où P = X³(X + 1) on sait que F est de la forme a/X³ + b/X² * c/X + d/(X + 1) où a,b,c,d sont des réels .
On obtient facilement : a = 1 et d = -1 (on multiplie des 2 côtés par ... et on fait X = ...)

Une astuce qui peut servir : On remplace X par j = exp(2/3) et on obtient : -j = 1 + bj + cj² + j donc 1 - c + (b + 2 - c)j = 0 et on se sert du fait que {1 , j}  est libre dans considéré comme -ev pour en déduire c = 1 et b + 2 - c = 0 donc b = -1 .

Merci beaucoup

de rien

j'aurais calculer a et d en multipliant par x³ et x+1 respectivement et en faisant x=0 et x=1 resp. mais plutôt que de passer par les complexes j'aurais tout simplement pris x=-2 et x=1 pour déterminer b et c à l'aide d'un système tout simple....