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décomposition en éléments simples

Posté par isi75 (invité) 28-06-05 à 13:33

Bonjour

je suis en licence et j'ai un partiel de maths après demain.
je bloque sur des bases mathématiques concenrnant la décomposition en éléments simples. j'ai résolu en partie les décompositions mais à la fin je bloque, pourriez vous résoudre ou m'aider à résoudre pour que je puiss terminer.
Je vous remercie de votre aide

(2p+3)/[p(p+1)²] = A/p + B/(p+1)² + C/(p+1) = 3/p -1/(p+1)² + C/(p+1)
=> comment je trouve C svp?

(12+20p)/[p²(p-2)(p+3)] = A/p² + B/p + C/(p-2) + D/(p+3)
A=(-2) C=13/5 D=16/5
=> comment trouver B ?

1/[p(p+1)(p+2)(p²+2p+10)]
=> est-ce que c'est égal à A/p+B/(p+1)+C/(p+2) + D/(p²+2p+10)
OU alors est-ce égal à A/p+B/(p+1)+C/(p+2) + (Dp+E)/(p²+2p+10)  ??
comment je sais lequel je dois choisir?
j'ai A=1/20 B=-1/9 C=1/20 , que vaut D? et E s'il y est ?

Merci de bien vouloir m'expliquer par une réponse détaillée, parce que j'ai pas trop compris comment faire.
merci d'avance.

Posté par philoux (invité)re : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 13:37

Bonjour

Tu réduis au meme dén et tu identifies

A(p²+2p+1)+Bp+C(p²+p)=(A+C)p²+(2A+B+C)p+A=2p+3 quelquesoit p, donc
A+C=0
2A+B+C=2
A=3

A=3
C=-3
B=-1

Philoux

Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 13:45

Bonjour

Si tu as déja trouvé A et B , on peut trouver C en jouant avec les limites .

En effet , on a :
3$\rm \frac{2p+3}{p(p+1)^{2}}=\frac{3}{p}-\frac{1}{(p+1)^{2}}+\frac{C}{p+1}
En multipliant par p non nul :
3$\rm \frac{2p+3}{(p+1)^{2}}=3-\frac{p}{(p+1)^{2}}+\frac{Cp}{p+1}

Ainsi :
3$\rm lim_{p\to +\infty} \frac{2p+3}{(p+1)^{2}}=\lim_{p\to +\infty} 3-\frac{p}{(p+1)^{2}}+\frac{Cp}{p+1}
ie
3$\rm 0=3+C
au final :
3$\rm C=-3

Sinon il suffit de prendre une valeur au hasard , par exemple 1
on a :
3$\rm \frac{5}{4}=3-\frac{1}{4}+\frac{C}{2}
et on obtient bien :
3$\rm C=-3

Pareil pour les autres


Jord

Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 13:48

Pour le dernier c'est le deuxiéme choix :

A/p+B/(p+1)+C/(p+2) + (Dp+E)/(p²+2p+10)

En effet , 3$\rm P(p)=p^{2}+2p+10 est un polynôme irréductible donc un élément de deuxiéme espéce de multiplicité 1 (c'est à dire décomposable en \frac{Ap+B}{p^{2}+2p+10})


Jord

Posté par isi75 (invité)re : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 13:51

merci, je suppose que la question 3 c la meme méthode.

reste donc la question 2 où je vois pas trop comment faire et en plus ça ferait ptet 2 inconnues.

merci de bien vouloir me répondre

Posté par philoux (invité)re : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 13:51

>isi

Pour le cours, sinon :



ou



Philoux

Posté par isi75 (invité)re : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 13:53

MERCI pour les réponses et les liens,
j'ai compris



Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 14:09

Le dernier ce fait rapidement aussi bien qu'il y ait beaucoup d'inconnue , il suffit de connaitre les méthodes :

On a vu que la fraction se décomposait en :
3$\rm \frac{1}{p(p+1)(p+2)(p^{2}+2p+10)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+1}+\frac{C}{p+2}+\frac{Dp+E}{p^{2}+2p+10}

_____________________________

Calcul de A
On multiplie et simplifie par p , on obtient :
3$\rm \frac{1}{(p+1)(p+2)(p^{2}+2p+10)}=A+\frac{Bp}{p+1}+\frac{Cp}{p+2}+p\times\frac{Dp+E}{p^{2}+2p+10}
en prenant p=0 , on obtient :
3$\rm \frac{1}{1\times 2\times 10}=A+0+0+0
soit :
3$\rm \fbox{A=\frac{1}{20}}
_____________________________

Calcul de B
On multiplie et simplifi par p+1 , on obtient :
3$\rm \frac{1}{p(p+2)(p^{2}+2p+10)}=\frac{A(p+1)}{p}+B+\frac{C(p+1)}{p+2}+(p+1)\times\frac{Dp+E}{p^{2}+2p+10}
En prenant p=-1 :
3$\rm -\frac{1}{9}=0+B+0+0
soit :
3$\rm \fbox{B=-\frac{1}{9}}
_____________________________

Calcul de C
On multiplie et simplifie par p+2 puis on pose p=-2 , on obtient :
3$\rm \frac{1}{2\times 1\times 10}=0+0+C+0
c'est à dire :
3$\rm \fbox{C=\frac{1}{20}}
_____________________________

Calcul de D
On multiplie et simplifie par p , on obtient :
3$\rm \frac{1}{(p+1)(p+2)(p^{2}+2p+10)}=A+\frac{Bp}{p+1}+\frac{Cp}{p+2}+\frac{Dp^{2}+Ep}{p^{2}+2p+10}
On a alors :
3$\rm \lim_{p\to +\infty} \frac{1}{(p+1)(p+2)(p^{2}+2p+10)}=\lim_{p\to +\infty} A+\frac{Bp}{p+1}+\frac{Cp}{p+2}+\frac{Dp^{2}+Ep}{p^{2}+2p+10}
à savoir :
3$\rm A+B+C+D=0
ie :
3$\rm D=\frac{1}{9}-\frac{1}{20}-\frac{1}{20}
au final :
3$\rm \fbox{D=\frac{1}{90}}
_____________________________

Calcul de E
On prend p=1 , on a alors :
3$\rm \frac{1}{78}=A+\frac{B}{2}+\frac{C}{3}+\frac{D+E}{13}
ie :
3$\rm \frac{E}{13}=\frac{1}{78}-\frac{1}{20}+\frac{1}{18}-\frac{1}{60}-\frac{1}{1170}
donc .... (la flemme de faire le calcul lol)

Voila

Jord

Posté par isi75 (invité)re : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 15:59

ah oui lol merci
je l'avais refait comem la question 1 mais là avec multiplié par p=0 c encore + rapide
thanks

Posté par
Nightmarere : décomposition en éléments simples 28-06-05 à 16:02


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