Bonjour !
Ma question porte donc comme le titre l'indique sur la décomposition en élément simples.
Je dois décomposer cette fraction : 32/(X5)(X4+4)
Déjà je pense isoler le 32 et le "remettre" à la fin quand j'ai tous mes éléments en les multipliant par 32.
Je sais (enfin si j'ai bien compris mon cours) que je dois trouver qqchose de la forme
a/X + b/X2 + c/X3 + d/X4 + e/X5 + f/(X4+4)
Mais la je bloque je ne sais pas comment trouver a, b, c, d, e, f...
Merci beaucoup d'avance pour votre aide ! (et ne vous inquiétez pas, je pige assez vite il me manque juste un petit déclic là..)
Salut,
tout d'abord, lorsqu'on fait une décomposition en élément simple, il faut préciser dans quel corps on l'a fait. Par exemple, dans R, x²+1 est irréductible alors que dans C il ne l'est pas, puisqu'il se scinde en (x-i)(x+i).
Ensuite, que l'on soit dans R ou C, x^4+4 n'est pas un élément irréductible. Normalement, ton cours dit que, dans R en tout cas, les éléments simples sont les 1/(aX+b) et les 1/(aX²+bx+c) avec b²-4ac < 0
Ah oui effectivement.. j'ai oublié de préciser que c'était dans R, désolée.
J'ai beaucoup d'exemples dans mes cours avec des fractions où le dénominateur est du type (X+a)^n , mais pour (x^4 +4) c'est pas la même forme donc je vois pas..
Merci !
Lorsqu'un élément n'est pas simple, il faut le décomposer.
Pourrais-tu factoriser X^4+4? (dans R bien entendu)
euh.. je pensais à quelque chose comme (X^2 +2)(X^2-2), mais ça marche pas !
Je cherche, je cherche...
J'ai trouvé !
(X^4+4) = (X^2 + 2X +2) (X^2 -2X +2)
donc on doit avoir 2 éléments simple qui seront de la forme
a/(X^2 + 2X + 2) et b/(X^2-2X+2)
Tout à fait!
Je ne sais pas comment tu as fait pour factoriser, mais une méthode qui marche souvent dans ce genre de cas est faire une décomposition dans C, puis de réunir les facteurs de sorte à obtenir des irréductibles de R.
..En écrivant 1 = (X4 + 1) - X4 on arrive à : 1/X5(X4 + 1) = 1/X5 - 1/X + X3/(X4 + 1)
..X4 + 1 = (X2 + 1)² - 2X2
j'ai fait "à tâtons" c'est pour ça que ça m'a pris un peu de temps ! c'est pas la meilleure méthode !
Une décomposition dans C, ça veut dire que la ça ferait
(X^2 + 2i) (X^2-2i) ?
et ensuite... ?
Il faut complètement décomposer dans C, puis réunir les facteurs en conjugués.
Ici, et
Ensuite, on effectue le produit avec les conjugués :
et de la même façon
.
Je te laisse essayer de comprendre pourquoi ça marche, autrement dit, pourquoi on va toujours pouvoir réunir des conjugués.
bonjour à tous
la méthode de Jord est bonne car fonctionne à tous les coups
ici il y a un petit taccourci :
X4+4 = (X²+2)²-4X²=(X²+2+2X)(X²+2+2X)
si F est ta fraction rationnelle
F = a/X + b/X² + c/X3 + d/X4 + e/X5 + (fX+g)/(X²+2X+2) + (hX+k)/(X²-2X+2)
ensuite tu multiplies par (X²-2X+2), tu simplifies, puis X=1+i
et cela te donne h et k (et donc f et g)
tu multiplies par X5 , tu simplifies, puis X=0 et cela te donne e
X*F(X) à l'infini te donne ensuite a
et pour c, il te resteras à prendre une valeur (par exemple X=1)
Ouaw ! merci beaucoup !
Juste une petite question.. Pourquoi on prend x = 1+i ?
c'est pour que ça s'annule ?
Alors là ça y est j'ai multiplié par (X^2-2X+2), il me reste juste hX+k, je remplace X par 1+i mais du coup j'ai un dénominateur égal à 0 dans ma fraction de départ...
voilà ce que j'ai :
h(1+i) + k = 1/((1+i)^5) ((1+i)^4 +4)
si tu multiplies dans un membre par une quantité, multiplie aussi l'autre membre !!!!! et simplifie la ta fraction de départ !!!!!!
et où est passé le 32 ????
je trouve bien que la limite de xf(x) c'est a. mais je trouve que c'est égal à lim 32X/(X^5(X^4+4) = lim 32/ (X^16+4X^4)... ça fait une limite nulle ?
Je dois avoir un pb quelque part...
ah ouii !! j'avais pas vu ça !! donc du coup on trouve
a= -2
et c= 0 ?
Sincèrement ,merci 1.10^500 fois !!! J'aurais jamais réussi toute seule !
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