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Décomposition en éléments simples

Posté par
Sofia33 11-03-17 à 08:42

Bonjour.

Je bloque actuellement sur une question dans un exercice qui me demande de décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
\frac{2x}{x^5+x^4+x+1}
La correction m'indique que cette fraction vaut :
\frac{x^3-x^2+x+1}{x^4+1}-1/(x+1) pour commencer mais je ne comprends pas la démarche.

Pourriez-vous m'expliquer ?

Merci par avance

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:21

Bonjour,

On voit déjà que c'est factorisable par (x-1) au dénominateur.

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:22

Pardon :

On voit déjà que c'est factorisable par (x+1) au dénominateur.

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:25

bonjour

la correction n'est là que pour t'aider à trouver les racines de x5+x4+x+1
on ne te demande pas de la trouver mais de décomposer
la fraction  initiale sachant cela

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:26

\dfrac{2x}{x^5+x^4+x+1}=\dfrac{2x}{(x^4+1)(x+1)}=\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^4+1}+\dfrac{e}{x+1}

Posté par
LeHiboure : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:30

Bonjour,

Ton dénominateur s'écrit x5+x4+x+1 = x4(x+1)+x+1 = (x4+1)(x+1)
Sur [X], x4+1 n'est pas factorisable (pourquoi ?), la décomposition d'écrit donc :
P(x)/(x4+1) + a/(x+1) où P est un polynôme de degré 3 maximum.
Tu continues ?

Posté par
LeHiboure : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:32

Je sors...

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:33

Tu multiplies tout par (x+1), puis tu poses x=-1  :

\dfrac{2x}{(x^4+1)(x+1)}=\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^4+1}+\dfrac{e}{x+1} \\\\ \Leftrightarrow \dfrac{2x\cancel{(x+1)}}{(x^4+1)\cancel{(x+1)}}=\dfrac{((ax^3+bx^2+cx+d)(x+1)}{x^4+1}+\dfrac{e\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}} \\\\ \text{En posant }x=-1 : \\\\ \dfrac{2x\cancel{(x+1)}}{(x^4+1)\cancel{(x+1)}}=\dfrac{((ax^3+bx^2+cx+d)\overbrace{(x+1)}^{=0}}{x^4+1}+e \\\\ \Leftrightarrow e=\dfrac{2\times(-1)}{(-1)^4+1}=-1

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:37

Donc :

\dfrac{2x}{(x^4+1)(x+1)}=\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^4+1}-\dfrac{1}{x+1}

En posant x=0, tu obtiens d.

En multipliant tout par x, puis en faisant tendre x\to +\infty, tu obtiens a.

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:45

x^5+x^4+x+1 possède 1 racine  dans R et 4 racines dans C

x1=e^{i.\frac {\pi }{4}}
x2=e^{i.\frac {-\pi }{4}}
x3=e^{i.\frac {3\pi }{4}}
x4=e^{i.\frac {-3\pi }{4}}
x5=-1

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 09:46

Bonjour
Il ne faut pas oublier que ce n'est pas terminé. En effet x^4+1 n'est pas un "élément simple sur R) il n'est pas irréductible:
x^4+1=\left(1-\sqrt{2} x+x^2\right) \left(1+\sqrt{2} x+x^2\right)

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:00

Donc cela ne sert à rien de calculer a,b,c,d. En effet la décomposition en éléments simples à la forme
-\frac{1}{1+x}+\frac{\text{b1}+\text{a1} x}{1-\sqrt{2} x+x^2}+\frac{\text{b2}+\text{a2} x}{1+\sqrt{2} x+x^2}
C'est donc a1,a2,.... qu'il faut calculer.

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:02

Bonjour jb2017,

Comment as-tu fait pour "trouver" cela s'il te plaît :

x^4+1=\left(1-\sqrt{2} x+x^2\right) \left(1+\sqrt{2} x+x^2\right)

Posté par
lakere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:04

Bonjour,

x^4+1=(x^2+1)^2-(x\sqrt{2})^2

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:08

Merci Lake,

Mais comment "y pense t-on" ?

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:09

Ah ..................... avec le double produit, c'est bien cela ?

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:13

D'abord sur R il faut savoir que les facteurs irréductibles sont de degré 1 ou 2. Sur C ils sont toujours de degré 1.
Pour réduire x^4+1 il y a deux façons.
En "restant" sur R on voit que x^4+1  n'a pas de racines réelles donc il est le produit de 2 polynômes de degré 2 (qui n'ont pas de racines sur R).
On a donc  x^4+1=(x^2+c1 x+ d1) (x^2+ c2 x +d2). Il faut développer et identifier  pour trouver d1, d2 , ...

Mais sur C   x^4+1  à 4 racines les racines quatrième de -1=e^{i\pi}

Elles sont donc z_1=e^{i\pi/4}, z_2=z_1=e^{i(\pi/4+\pi/2),...} et apparaissent par paires conjuguées.

d'où x^4+1=(x-z_1)(x-z_2)....  et en remultipiant les paires conjuguées on retrouve mon résultat.

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:15

Merci merci merci.  

Posté par
lakere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:16

Difficile de te répondre; personnellement, je ne "pense" pas; je sais:

x^{4p}+1=(x^{2p}+1)^2-(x^p\sqrt{2})^2=(x^{2p}-x^p\sqrt{2}+1)(x^{2p}+x^p\sqrt{2}+1)

Posté par
lakere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 10:22

La réponse de jb2017 à 10h13 est tout à fait convaincante...

Posté par
Sofia33re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 11:09

Merci pour toutes vos explications

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 12:42

De rien, et merci aux autres.

Posté par
lakere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 13:06

>> Jedoniezh

Quand je disais convaincante, je parlais de ceci:

Citation :
D'abord sur R il faut savoir que les facteurs irréductibles sont de degré 1 ou 2. Sur C ils sont toujours de degré 1.


  En théorie, oui, on est certain qu' un polynôme se factorise sur \mathbb{R} en un produit de facteurs au plus du second degré. De là à trouver les facteurs en question, c' est une autre histoire...

Bref, on travaille le plus souvent sur des cas particuliers où la décomposition est "simple" et où une factorisation est accessible.

Imagine un polynôme de degré 5 à coefficients réels avec 3 racines réelles et 2 racines complexes non "évidentes". On est certain que ce polynôme peut se factoriser sur \mathbb{R} en un produit de 3 polynômes de degré 1 et d' un polynôme de degré 2 mais la factorisation ne pourra être qu' approchée.

Tout ça pour dire qu' on travaille le plus souvent sur de rares  cas "faciles" et que toutes les méthodes sont bonnes à prendre.



  

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 13:11

Je te remercie, et j'ai clairement là appris quelque chose.

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 13:15

En effet comme par exemple x^5 + x^2 - 1 qui admet une seule racine réelle et qui n'est pas rationnelle!!!

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 14:27

voilà
\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { -0.051776695297-i0.125  }{x-e^{i.\frac {\pi }{4}} }+ \frac { -0.051776695297+ i0.125  }{x-e^{-i.\frac {\pi }{4}} } +\frac {  0.301776695297+ i0.125  }{x-e^{i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac {  0.301776695297 -i0.125   }{x- e^{-i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac { -0.5 }{x-(-1)}\end {pmatrix}

par  combinaison linéaire toute simple on trouve facilement ce résultat car
x^5+x^4+x+1 possède des racines  dans R et 4 racines dans C toutes distinctes

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 14:30

Compte tenu de ce que nous as mis Sofia33, je pense que l'exercice porte sur une décomposition sur \R.

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 14:32

Désolé mais...
Je ne sais pas si c'est correct mais de toute façon comme cela a été dit par plusieurs ici la*
factorisation est faisable de façon exacte (sur R ou sur C). donc c'est clair qu'on attend une réponse exacte et non pas approchée.

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 14:38

   vous voyez pas?
voilà
\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { -0.051776695297-i0.125  }{x-e^{i.\frac {\pi }{4}} }+ \frac { -0.051776695297+ i0.125  }{x-e^{-i.\frac {\pi }{4}} } +\frac {  0.301776695297+ i0.125  }{x-e^{i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac {  0.301776695297 -i0.125   }{x- e^{-i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac { -0.5 }{x-(-1)}\end {pmatrix}

par  combinaison linéaire toute simple on trouve facilement ce résultat car
x^5+x^4+x+1 possède une racine   dans R et 4 racines dans C toutes distinctes

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 15:07

\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { -0.51776695-i0.125  }{x-e^{i.\frac {\pi }{4}} }+ \frac { -0.51776695+ i0.125  }{x-e^{i.\frac {-\pi }{4}} } +\frac {  0.301776695+ i0.125  }{x-e^{i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac {  0.301776695 -i0.125   }{x-x_4=e^{i.\frac {-3\pi }{4}} }+ \frac { -0.5 }{x-(-1)}\end {pmatrix}

pour le calcul exact  ->
\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { u_1 }{x-x_1}+ \frac { u_2 }{x-x_2}+ \frac { u_3 }{x-x_3}+ \frac { u_4 }{x-x_4}+ \frac { u_5 }{x-x_5}\end {pmatrix}
avec la combinaison linéaire toute simple décrite par
\begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\u_3 \\ u_4 \\ u_5 \end {pmatrix} =\begin {pmatrix}\frac {x_1^4   }{ a }& \frac {x_1^3   }{  a }& \frac {x_1^2   }{a }&  \frac {x_1    }{ a }& \frac { 1   }{ a }    \\ \frac {x_2^4   }{b  }& \frac {x_2^3   }{ b }& \frac {x_2^2   }{ b }&  \frac {x_2    }{ b }& \frac {1   }{ b }    \\ \frac {x_3^4   }{ c }& \frac {x_3^3   }{ c }& \frac {x_3^2   }{ c }&  \frac {x_3    }{ c }& \frac {1   }{ c }     \\ \frac {x_4^4   }{ d  }& \frac {x_4^3   }{ d}& \frac {x_4^2   }{ d }&  \frac {x_4    }{  d}& \frac {1   }{  d}   \\  \frac {x_5^4   }{ e }& \frac {x_5^3   }{e }& \frac {x_5^2   }{e  }&  \frac {x_5  }{ e }& \frac {1 }{ e }     \end {pmatrix}  .\begin {pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\end {pmatrix}  

x_1=e^{i.\frac {\pi }{4}}
x_2=e^{i.\frac {-\pi }{4}}
x_3=e^{i.\frac {3\pi }{4}}
x_4=e^{i.\frac {-3\pi }{4}}
x_5=-1
  
a=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)
b=(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)
c=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)(x_3-x_5)
d=(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)(x_4-x_5)
e=(x_5-x_1)(x_5-x_2)(x_5-x_3)(x_5-x_4)

Posté par
Jedoniezhre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 15:12

Enlever lui les piles !!!  

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 15:24

une erreur sur calcul approché du post précédent

\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { -0.051776695297-i0.125  }{x-e^{i.\frac {\pi }{4}} }+ \frac { -0.051776695297+ i0.125  }{x-e^{-i.\frac {\pi }{4}} } +\frac {  0.301776695297+ i0.125  }{x-e^{i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac {  0.301776695297 -i0.125   }{x- e^{-i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac { -0.5 }{x-(-1)}\end {pmatrix}

mais donc pour le calcul exact  ->

\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { u_1 }{x-x_1}+ \frac { u_2 }{x-x_2}+ \frac { u_3 }{x-x_3}+ \frac { u_4 }{x-x_4}+ \frac { u_5 }{x-x_5}\end {pmatrix}
avec la combinaison linéaire toute simple décrite par
\begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\u_3 \\ u_4 \\ u_5 \end {pmatrix} =\begin {pmatrix}\frac {x_1^4   }{ a }& \frac {x_1^3   }{  a }& \frac {x_1^2   }{a }&  \frac {x_1    }{ a }& \frac { 1   }{ a }    \\ \frac {x_2^4   }{b  }& \frac {x_2^3   }{ b }& \frac {x_2^2   }{ b }&  \frac {x_2    }{ b }& \frac {1   }{ b }    \\ \frac {x_3^4   }{ c }& \frac {x_3^3   }{ c }& \frac {x_3^2   }{ c }&  \frac {x_3    }{ c }& \frac {1   }{ c }     \\ \frac {x_4^4   }{ d  }& \frac {x_4^3   }{ d}& \frac {x_4^2   }{ d }&  \frac {x_4    }{  d}& \frac {1   }{  d}   \\  \frac {x_5^4   }{ e }& \frac {x_5^3   }{e }& \frac {x_5^2   }{e  }&  \frac {x_5  }{ e }& \frac {1 }{ e }     \end {pmatrix}  .\begin {pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\end {pmatrix}  

x_1=e^{i.\frac {\pi }{4}}
x_2=e^{i.\frac {-\pi }{4}}
x_3=e^{i.\frac {3\pi }{4}}
x_4=e^{i.\frac {-3\pi }{4}}
x_5=-1
  
a=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)
b=(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)
c=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)(x_3-x_5)
d=(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)(x_4-x_5)
e=(x_5-x_1)(x_5-x_2)(x_5-x_3)(x_5-x_4)

Posté par
alb12re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 17:13

pour couper court et faire plaisir à Glapion

Posté par Profil amethystere : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 17:21

pour couper court à quoi?
je donne la solution et au lieu de me dire merci vous m'envoyez vos vannes à trois centimes

\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { -0.051776695297-i0.125  }{x-e^{i.\frac {\pi }{4}} }+ \frac { -0.051776695297+ i0.125  }{x-e^{-i.\frac {\pi }{4}} } +\frac {  0.301776695297+ i0.125  }{x-e^{i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac {  0.301776695297 -i0.125   }{x- e^{-i.\frac {3\pi }{4}} }+ \frac { -0.5 }{x-(-1)}\end {pmatrix}

mais donc pour le calcul exact  ->

\frac {2x }{x^5+x^4+x+1 } =2 \begin {pmatrix} \frac { u_1 }{x-x_1}+ \frac { u_2 }{x-x_2}+ \frac { u_3 }{x-x_3}+ \frac { u_4 }{x-x_4}+ \frac { u_5 }{x-x_5}\end {pmatrix}

avec la combinaison linéaire toute simple décrite par

\begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\u_3 \\ u_4 \\ u_5 \end {pmatrix} =\begin {pmatrix}\frac {x_1^4   }{ a }& \frac {x_1^3   }{  a }& \frac {x_1^2   }{a }&  \frac {x_1    }{ a }& \frac { 1   }{ a }    \\ \frac {x_2^4   }{b  }& \frac {x_2^3   }{ b }& \frac {x_2^2   }{ b }&  \frac {x_2    }{ b }& \frac {1   }{ b }    \\ \frac {x_3^4   }{ c }& \frac {x_3^3   }{ c }& \frac {x_3^2   }{ c }&  \frac {x_3    }{ c }& \frac {1   }{ c }     \\ \frac {x_4^4   }{ d  }& \frac {x_4^3   }{ d}& \frac {x_4^2   }{ d }&  \frac {x_4    }{  d}& \frac {1   }{  d}   \\  \frac {x_5^4   }{ e }& \frac {x_5^3   }{e }& \frac {x_5^2   }{e  }&  \frac {x_5  }{ e }& \frac {1 }{ e }     \end {pmatrix}  .\begin {pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\end {pmatrix}  

x_1=e^{i.\frac {\pi }{4}}
x_2=e^{i.\frac {-\pi }{4}}
x_3=e^{i.\frac {3\pi }{4}}
x_4=e^{i.\frac {-3\pi }{4}}
x_5=-1
  
a=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)
b=(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)
c=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)(x_3-x_5)
d=(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)(x_4-x_5)
e=(x_5-x_1)(x_5-x_2)(x_5-x_3)(x_5-x_4)

Posté par
alb12re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 17:22

susceptible

Posté par
alb12re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 17:31

\\ -\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{(\sqrt{2}+1+i)}{(4\cdot x+(2-2*i)\cdot \sqrt{2})}+\dfrac{(-\sqrt{2}+1+i)}{(4\cdot x+(-2+2*i)\cdot \sqrt{2})}+\dfrac{(\sqrt{2}+1-i)}{(4\cdot x+(2+2*i)\cdot \sqrt{2})}+\dfrac{(-\sqrt{2}+1-i)}{(4\cdot x+(-2-2*i)\cdot \sqrt{2})} \\

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 18:13

Rebjr
Je reprends  la décomposition sur \R  (avec un minimum de calcul si possible): La théorie dit que
f(x)=-\frac{1}{1+x}+\frac{\text{b1}+\text{a1} x}{1-\sqrt{2} x+x^2}+\frac{\text{b2}+\text{a2} x}{1+\sqrt{2} x+x^2}
On commence par
D'une part f(x] \sim \frac{2}{x^4} et f(x] \sim\frac{-1+\text{a1}+\text{a2}}{x}

Posté par
alb12re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 18:15

et si on laissait un peu de travail à Sofia33

Posté par
jb2017re : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 18:27

pardon le message est parti tout seul (je continue) . Ceci n'est pas possible donc
a_2+a_1-1=0....  a_2=1-a_1
avec x=0   f(0)=0 donc
  b_2+b_1-1=0   b_2=1-b_1
Il nous reste  2 inconnues, on peut écrire 2 petites  équations, par exemple
avec x=1 et x=-1 on peut trouver facilement a1 et b1.
Mais c'est mieux de passe par \C car les pôles sont simples et on divise par 2 le travail à cause des paires conjuguées. On regroupe  les paires conjuguées pour obtenir le résultat sur \R

Posté par
etniopalre : Décomposition en éléments simples 11-03-17 à 19:37

1.
Un truc à savoir :
    Soient  A et B  dans K[X]  et  r K . Si r est une racine simple de B et si A(r) 0 , dans la sécomposition en éléments simples de   A/B  on trouve /(X - r)   où = A(r)/B '(r)

En effet on a :  B = (X - r)Q où Q K[X]  vérifie Q(r) 0 et la décomposition en éléments simples  de A/B = A/(X - r)Q est de la forme /(X - r)  + F où F est une fraction rationnelle U/V telle que V(r) 0 . Alors = 1/Q(r) puisque A/Q = + (X - r) . U/V  
Comme  B' = (X - r)Q ' + Q  on a : Q(r) = B '(r)  et = A(r)/B '(r)  .

2.
Si on prend K = , A = 1 et B = (X 4 + 1)(X + 1)  les racines de B dans sont :   -1 , a = exp(i/4) ,  a* = exp-(i/4) , b = exp(3i/4) , b* =  exp(-3i/4) .

La décomposition en éléments -simples  de 1/B et donc 1/B'(-1)(X - 1) + 1/B'(a)(X - a) +1/B'(a*)(X - a*) + 1/B'(b)(X - b) +1/B'(b*)(X - b*)

Pour avoir la décomposition en éléments -simples  de 1/B on remplace  
1/B'(a)(X - a) +1/B'(a*)(X - a*)  par (cX + d)/(X - a)(X - a*) et
1/B'(b)(X - b) +1/B'(b*)(X - a*) par (c'X + d')/(X - b)(X - b*)  ( c , c ' , d , d ' sont des réels )

3.On pourra pae exemple se servir du 1 pour trouver    la décomposition en éléments -simples  de 1/(X- 1)n (  n * )


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