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Décomposition en éléments simples dans R
Bonjour à tous !
Donc j'ai un petit problème mathématique !
Tant bien que mal, j'ai essayé de comprendre les DES, cependant, j'ai rencontré un probleme sur un des excercices :
f(x)=1/(x3 - 1)
Apres avoir déterminer que le degré du dénominateur est supérieur au degré du numérateur, je me lance dans la recherche des poles.
Malheureusement, je n'arrive pas a simplifier le membre du numérateur. Quelqu'un aurait il une solution ? A moins que ce que je recherche soit en cherche inutil a la résolution du probleme ?
Merci d'avance ! 
A bientot
Salut !
si tu veux rester dans R alors on remarque qu'il y a un pole evident (1) et on factorise par ce pole.
1-x^3 = (1-x)*(1+x+x²)
1+x+x² na pas de racine réel, on peut donc faire la decomposition.
sinon en passant par C, les racines de 1-x^3 sont 1,j,j² (ou j=exp(i*2*Pi/3) ).
Merci beaucoup de ta réponse Ksilver, je me sens un peu bête de pas avoir vu ca, ca aurait du me sauter au nez.
La question qui suit est :
Je pense devoir trouver une solution du type A/(1-x) + (Bx+C)/(1+x+x2)
J'ai réussi a trouver le A en faisant A = lim (x-1) f(x) quand x
1. Je trouve ainsi A = 1/3
Cependant je ne parviens pas a determiner B et C etant donnée qu'il n'y a pas de pole réel.
Est ce que quand on fait un DES dans R, on doit s'occuper des racines dans C ? ( je pense personnelement que non, m'enfin ce n'est qu'une hypothese )
Auquel cas je me servirais de ces racines.
Sinon, que dois je faire !
Merci d'avance
Salut !
si tu sais faire le DES dans C, une methode consiste a faire le DES dans C, puis regrouper les pole complexe deux a deux (il faut regrouper les pole conjugé) et on trouve le DES sur R.
ca c'est la demarche "algorithmique" un peu lourde
mais ici vu que la fraction est asseez simple on peut s'en sortir en "bricolant"
appelons F ta fraction.
limite x*F(x) quand x->+inf vaux 0 d'apres l'expression de depart, et vaux A+B d'apres l'expression que tu propose, d'ou B=-A
et apres pour trouver C tu peut par exemple calculer F(0) selon les deux expression : l'une va dependre de C l'autre non et tu trouvera la valeur de C.
sinon tu peut aussi reduit au meme denominateur et en deduir les valeurs de A,B et C par identification.
Encore merci pour les réponses
Ksilver, j'ai suivi ta technique, et je viens tous juste de finir ( hé oui je suis long, les maths c'est pas tellement ce que je préfère ).
J'aimerais qu'on valide mes trouvailles :
A=1/3 B=-1/3 et C=-2/3
Si ce sont les bons resultats, je pense avoir compris
Encore merci
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