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décomposition en éléments simples : problème

Posté par
HighSchool2005 06-02-07 à 11:01

Bonjour,

j'ai un problème pour décomposer la fraction :
\frac{x^2}{1+x^2} en éléments simples. Je ne comprends pas ce qui cloche.
J'ai écrit que 1+x^2 = (x-i)(x+i) donc
\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{A}{x-i} + \frac{B}{x+i}

Seulement quand je calcule, je trouve
A = \frac{i}{2} et B = \frac{-i}{2}
trouver en multipliant par le dénominateur et en faisant tendre x vers i ou -i.

mais quand je vérifie ma fraction vaut
\frac{-1}{x^2 + 1}

Où est le problème ?

Merci pour votre aide !

Posté par
lafol Moderateurre : décomposition en éléments simples : problème 06-02-07 à 11:06

Bonjour,
tu as tout simplement oublié la partie entière ! x² = (x²+1) - 1 donc ta fraction s'écrit 1 - 1/(1+x²), et la forme proposée dans ton post vaut pour cette dernière fraction ...

Posté par
dadoure : décomposition en éléments simples : problème 06-02-07 à 11:09

Bonjour,
le probleme vient du fait que le numérateur est du meme degré que le denominateur.
La méthode de decompostion ne s'applique que lorsque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.
Il faut donc si nécessaire faire une division euclidienne des deux polynomes avant de
commencer à décomposer.
Ici c'est simple puisque tu as:
\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{1+x^2-1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}
Ensuite tu décomposes la fraction comme tu l'as fait.
Dadou

Posté par
HighSchool2005re : décomposition en éléments simples : problème 06-02-07 à 11:20

merci beaucoup, je pensais que comme x^2 + 1 > x^2 alors il n'y avait pas de partie entière mais j'avais tors

Posté par
jeansebre : décomposition en éléments simples : problème 06-02-07 à 12:52

Citation :
mais j'avais tors


Non! tu avais tort

(Attention! Certains membres du forum sont sourcilleux sur l'orthographe...)

Posté par
lafol Moderateurre : décomposition en éléments simples : problème 06-02-07 à 13:40

Salut Jeanseb !
Pour Highschool : pour savoir si tu dois chercher une partie entière, regarde les degrés : dès que le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, il y a une partie entière à chercher. Ici, degré 2 en haut comme en bas, donc partie entière de degré 2-2 = 0 : la partie entière est une constante.

Posté par
HighSchool2005re : décomposition en éléments simples : problème 06-02-07 à 16:03

oui merci


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