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décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2)

Posté par isi75 (invité) 15-01-05 à 22:45

bonjour

j'ai essayé de faire 3 décompositions en éléments simples mais je bloque au meme endroit à peu près.

1)

X(p)=1/[p(p+1)(p+2)(p2+2p+10)]
je dois décomposer en
X(p)=A/p + B/(p+1) + C/(p+2) + (Dp+E)/(p2+2p+10)
j'ai trouvé A=1/20 B=-1/9 C=1/20
je n'arrive pas à trouver D et E

2)

X(p)=(12+20)/[p2(p-2)(p+3)]
X(p)=A/p2 + B/p + C/(p-2) + D/(p+3)
j'ai trouvé A=-2 C=13/5 D=16/5 mais je n'arrive pas à trouver B.

3)

X(p)=1/[p2(p2 + w2)]
là je sais pas en quoi le décomposer et comment le décomposer.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Nightmare
re : décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2) 15-01-05 à 23:02

Bonjour

Je ne comprend pas ton probléme , enfin si , mais je ne vois pas comment tu as réussi à te créer un probléme .
Une fois que tu as A , B et C , le systéme d'équation doit être simple a résoudre

Pour le dernier , je pense que tu peux le décomposer en :
X(p)=\frac{A}{p^{2}}+\frac{B}{p^{2}+w^{2}}


Jord

Posté par isi75 (invité)re : décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2) 16-01-05 à 01:40

ben justement j'y arrive pas, y a un problème :

pour le 1)
je multiplie par p avec p=0 et je trouve A puis
je multiplie par p+1 avec p=-1 et je trouve B puis
je multiplie par p+2 avec p=-2 et je trouve C.
Et après je multiplie par quoi??
je peux pas multiplier par (p²+2p+10) vu que c toujours positif.
Et de quel système d'équations tu parles? j'en vois aucun. je sais pas comment faire (sinon comment on le fait apparaitre)
Il me manque D et E que je ne sais pas trouver.

pour le 2)
eh bien pour le B, je multiplie par p avec p=0 et j'obtiens B=(12+20p)/[p(p-2)(p+3)].
Le p² du dénominateur s'est simplifié en p au dénominateur mais p=0 au dénominateur c pas possible.
ça ferait "qqch" divisé par zéro, c pas possible.

Merci


Posté par minotaure (invité)re : décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2) 16-01-05 à 02:10

salut
tu te poses bien des problemes pour rien.

tu veux une decomposition en elements simples dans R.
en theorie c'est pas facile.
mais ici c'est un cas ou les inconnues sont peu nombreuses.

1)
X(p)=A/p + B/(p+1) + C/(p+2) + (Dp+E)/(p2+2p+10)
plusieurs possibilites :
a)on considere la decomposition en elements simples dans C puis par regroupement on obtient celle dans R.
b) on fait comme tu as fais  mais il reste D et E  a trouer. on prend X(1)=...
X(2)=... et on a 1 systeme de deux equations a deux inconnues.
c) derniere possibilite on peut considere X dans C.
pour quelles valeurs dans C, p^2+2p+10=0 ?
discriminant 4-4*10=-36
donc deux racines complexes conjuguees :
z1=-1+3i et z2=-1-3i
donc si on multiplie les 2 membres de l'egalite par
p^2+2p+10 on et qu'on remplace p par z1
on a 1/[z1*(z1+1)*(z1+2)]=Dz1+E
1/[z1*(z1+1)*(z1+2)]=i/30
donc Dz1+E=i/30
or (-1/90)*z1=i/30+1/90
donc (-1/90)*z1-1/90=i/30
donc (-1/90)*z1-1/90=Dz1+E.
donc (-1/90-D)*z1+(-1/90-E)=0
(1,z1) est une famille libre de C (tout comme (1,i))
donc D=-1/90 et E=-1/90

a verifier tout ca.

Posté par minotaure (invité)re : décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2) 16-01-05 à 02:28

la 2) on peut le faire avec les D.L.
mais ici tu n'a plus qu'une inconnue prend X(1)=

allez je le fais :
X(1)=32/-4=-8

et X(1)=A+B-C+D/4
tu connais A,C,et D et X(1)=-8 je te laisse finir.


3)X(p)=1/[p^2(p^2 + w^2)]
qu'est ce que w ? un reel ? un complexe ?
si w est un reel :
X(p)=A/p+B/p^2+(Cp+D)/(p^2+w^2)
B=1/w^2

on multiplie par p^2+w^2 et on prend p=i*w
-1/w^2=C*i*w+D
donc C=0 D=-1/w^2
X(1)=1/(1+w^2)
et X(1)=A+B+(C+D)/(1+w^2)
donc 1/(1+w^2)=A+1/w^2+(-1/w^2)/(1+w^2)
donc 1=A(1+w^2)+(1+w^2)/w^2-1/w^2=A(1+w^2)+1
donc A(1+w^2)=0 donc A=0
a+

Posté par isi75 (invité)re : décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2) 18-01-05 à 18:09

merci de ta réponse
j'avais posté hier ou avant hier mais ma réponse a pas été prise en compte je viens de voir, sans doute une ereur de manip

j'ai bien compris le 1er avec le système d'équations
et trouvé le 2ème de la meme manière
par contre j'ai pas compris l'explication suivante :
donc Dz1+E=i/30
or (-1/90)*z1=i/30+1/90

donc (-1/90)*z1-1/90=i/30
donc (-1/90)*z1-1/90=Dz1+E.
donc (-1/90-D)*z1+(-1/90-E)=0
(1,z1) est une famille libre de C (tout comme (1,i))
donc D=-1/90 et E=-1/90

c'est ce qui est en gras que j'ai pas compris, surtout le passage de la 1ère à la 2ème ligne.

Meci encore !

Posté par minotaure (invité)re : décomposition en éléments simples (suis bloqué à la 1/2) 19-01-05 à 00:32

on reprend
j'ai ecris :

donc si on multiplie les 2 membres de l'egalite par
p^2+2p+10 on et qu'on remplace p par z1

on a 1/[z1*(z1+1)*(z1+2)]=Dz1+E
=> ici j'ai fait comme toi tu as fait pour calculer A,B ou C.

or :
1/[z1*(z1+1)*(z1+2)]=i/30

donc Dz1+E=i/30
on obtient ceci. il faut decomposer i/30 dans la base : (1,z1).
voila pourquoi j'essaye de trouver une une decomposition de i/30 ici :

or (-1/90)*z1=i/30+1/90
donc (-1/90)*z1-1/90=i/30
donc (-1/90)*z1-1/90=Dz1+E.
donc (-1/90-D)*z1+(-1/90-E)=0
(1,z1) est une famille libre de C (tout comme (1,i))

une famille libre (a1,...an) de C est tel que pour tout k1,k2....kn de C on a :
a1*k1+....+an*kn=0 => k1=k2=...=kn=0.

donc (-1/90-D)=0 et (-1/90-E)=0
donc D=-1/90 et E=-1/90
a+



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