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Définition continuité

Posté par
lavache 01-02-19 à 15:01

Bonjour, voici une définition de Wikipédia

Citation :
Définition —  Soient (E, d) et (E', d') deux espaces métriques, ƒ une application de E dans E' et a un point de E.
On dit que l'application ƒ est continue au point a si : {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad {\Big [}d(x,a)<\eta \Rightarrow d'(f(x),f(a))<\varepsilon {\Big ]}.}


Je voudrais juste savoir si on peut remplacer les égalités strictes en larges comme cela

{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad {\Big [}d(x,a)\leq \eta \Rightarrow d'(f(x),f(a))\leq \varepsilon {\Big ]}.}
Mon professeur l'a utilisée comme telle mais je ne vois pas trop l'équivalence des définitions.. ça ne doit pas être sorcier mais je me suis déjà posé cette question de nombreuses fois pour d'autres cas.

Pouvez vous m'éclairer ? Merci d'avance.

Posté par
boninmire : Définition continuité 01-02-19 à 15:16

Bonjour,

Ces définitions sont équivalentes.
Voir une formulation plus large ici:
(mais la démonstration n'y est pas).
Dans un cas on raisonne sur les ouverts (forme 1 du dessus), dans l'autre (forme 2) sur les fermés.
Pour passer d'une forme à l'autre raisonne par exemple avec /2.
Avec la forme 2 tu trouvera un telle que l'inégalité au sens large soit vraie pour /2, et donc au sens strict pour . Elle sera donc vraie aussi pour l'inégalité stricte sur et on aboutit à la forme 1. Après on fait dans l'autre sens de façon voisine.

Posté par
lavachere : Définition continuité 01-02-19 à 15:27

C'est très clair merci beaucoup !

Posté par
luzakre : Définition continuité 01-02-19 à 15:36

Bonjour !
Et merci pour ton effort de rédaction : cela incite à te donner une réponse.

Numérotons tes définitions :
1.{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad {\Big [}d(x,a)<\eta \Rightarrow d'(f(x),f(a))<\varepsilon {\Big ]}.}

2. {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad {\Big [}d(x,a)\leq \eta \Rightarrow d'(f(x),f(a))\leq \varepsilon {\Big ]}.}
.............................................................

Tu supposes 1. vraie et tu veux démontrer 2.
Pour cela tu prends \varepsilon>0. D'après 1. tu as l'existence d' un \eta>0.
En prenant 0<\eta'<\eta et d(x,a)\leqslant\eta' tu auras
d(x,a)\leqslant\eta'\implies d(x,a)<\eta\implies d'(f(x),f(a))<\varepsilon\implies d'(f(x),f(a))\leqslant\varepsilon.

......................................
Dans l'autre sens il faut jouer sur le "quelque soit \varepsilon".

Tu veux démontrer 1. Tu prends donc un \varepsilon>0.

Pour \varepsilon'<\varepsilon, d'après 2. tu disposes d'un \eta' tel que d(x,a)\leqslant\eta'\implies d'(f(x),f(a))\leqslant\varepsilon'.
Par conséquent, si x\in E,\;d(a,x)<\eta' tu as d(a,x)\leqslant\eta' donc d'(f(x),f(a))\leqslant\varepsilon'<\varepsilon.
Tu as donc trouvé \eta=\eta'>0 tel que \forall x\in E,\;d(x,a)<\eta\implies d'(f(x),f(a))<\varepsilon. Autrement dit tu as démontré 1.


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