Salut à tous, je n'ai pas l'habitude de poser des questions, mais allons-y !
Je me penche, pour bosser avec un pote sur sa préparation à l'agreg, sur la théorie des groupes que je connais normalement assez bien, mais nous avons trouvé la définition suivante, qui me chiffonne un petit peu :
Def 1 : Soit (G,.) un groupe, et H une partie non vide de G.
On dit que H est un sous-groupe si la restriction de la lci . à H le munit d'une structure de groupe.
Classiquement, j'aurais defini un sous-groupe de G de la manière suivante :
Def 2 : Une partie non vide H est un sous-groupe de G si H est stable par produit et par inverse.
Selon cette définition, on en déduit facilement que . munit effectivement H d'une structure de groupe. Autrement dit que la définition 2 implique la définition 1. En particulier, avec la définition 2, la structure de groupe de H est telle que le neutre de G et celui de H sont les mêmes et que l'inverse de tout élément h de H est le même que celui de ce même h dans G. Et on retrouve toutes les caractérisations des sous-groupes que tout étudiant de L1 connaît.
Mais ce qui me chagrine est que j'ai l'impression que la définition 1 n'implique pas la définition 2.
Plus précisément, selon la définition 1, H a une structure de groupe pour ., et en particulier H admet un (unique) élément neutre et chaque élément h de H admet un (unique) inverse dans H.
Dans cette définition, rien n'indique a priori que le neutre de H et celui de G coïncident, ni que l'inverse de h dans G coïncide avec celui de ce même h vu comme élément de G.
J'espère être clair dans ces nuances qui me chiffonnent.
Ai-je raté un moyen de le démontrer ?
Pour l'instant, je n'y arrive pas tellement et je trouve la définition 1 "bancale".
Merci à vous d'éclairer ma lanterne.
Erratum (Désolé pour le double-post) :
Dans cette définition, rien n'indique a priori que le neutre de H et celui de G coïncident, ni que l'inverse de h dans H coïncide avec celui de ce même h vu comme élément de G.
Bonjour
Tu as raison sur le fond.
Exemple: Les matrices de la forme , partie de
.
Néanmoins, quand on parle de lci induite, c'est plus ou moins entendu que l'élément neutre est contenu dans la partie.
La notion de est un "sous-quelque-chose" de
peut se définir en général par:
Il existe un morphisme injectif de la structure envisagée, et s'il y a des éléments neutres dans la structure ça fait partie de la définition de "morphisme" qu'ils sont conservés.
Bonjour,
Dans la définition 1, dire que munit
d'une structure de groupe dit de facto que
est stable par
, non ?
est un groupe, d'inverse
, et dans lequel tout élément
est inversible dans
d'inverse
.
est un groupe, d'inverse
, et dans lequel tout élément
est inversible dans
d'inverse
.
Effectivement :
, donc
. On en déduit que
, puis que
.
C'est ce qu'il me manquait, merci. Le fait qu'alors pour tout est alors clair.
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