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Niveau Maths sup
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Définition d'un sous-groupe

Posté par
MattZolotarev
09-07-25 à 15:17

Salut à tous, je n'ai pas l'habitude de poser des questions, mais allons-y !

Je me penche, pour bosser avec un pote sur sa préparation à l'agreg, sur la théorie des groupes que je connais normalement assez bien, mais nous avons trouvé la définition suivante, qui me chiffonne un petit peu :

Def 1 : Soit (G,.) un groupe, et H une partie non vide de G.
On dit que H est un sous-groupe si la restriction de la lci . à H le munit  d'une structure de groupe.

Classiquement, j'aurais defini un sous-groupe de G de la manière suivante :
Def 2 : Une partie non vide H est un sous-groupe de G si H est stable par produit et par inverse.

Selon cette définition, on en déduit facilement que . munit effectivement H d'une structure de groupe. Autrement dit que la définition 2 implique la définition 1. En particulier, avec la définition 2, la structure de groupe de H est telle que le neutre de G et celui de H sont les mêmes et que l'inverse de tout élément h de H est le même que celui de ce même h dans G. Et on retrouve toutes les caractérisations des sous-groupes que tout étudiant de L1 connaît.

Mais ce qui me chagrine est que j'ai l'impression que la définition 1 n'implique pas la définition 2.
Plus précisément, selon la définition 1, H a une structure de groupe pour ., et en particulier H admet un (unique) élément neutre et chaque élément h de H admet un (unique) inverse dans H.

Dans cette définition, rien n'indique a priori que le neutre de H et celui de G coïncident, ni que l'inverse de h dans G coïncide avec celui de ce même h vu comme élément de G.

J'espère être clair dans ces nuances qui me chiffonnent.

Ai-je raté un moyen de le démontrer ?
Pour l'instant, je n'y arrive pas tellement et je trouve la définition 1 "bancale".

Merci à vous d'éclairer ma lanterne.

Posté par
MattZolotarev
re : Définition d'un sous-groupe 09-07-25 à 15:22

Erratum (Désolé pour le double-post) :
Dans cette définition, rien n'indique a priori que le neutre de H et celui de G coïncident, ni que l'inverse de h dans H coïncide avec celui de ce même h vu comme élément de G.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Définition d'un sous-groupe 09-07-25 à 16:12

Bonjour

Tu as raison sur le fond.
Exemple: Les matrices de la forme \begin{pmatrix} a & 0\\ 0  & 0 \\\end{pmatrix}, partie de GL_2(\R).

Néanmoins, quand on parle de lci induite, c'est plus ou moins entendu que l'élément neutre est contenu dans la partie.

La notion de A est un "sous-quelque-chose" de B peut se définir en général par:
Il existe un morphisme injectif A\to B de la structure envisagée, et s'il y a des éléments neutres dans la structure ça fait partie de la définition de "morphisme" qu'ils sont conservés.

Posté par
MattZolotarev
re : Définition d'un sous-groupe 09-07-25 à 16:46

Ok nous sommes d'accord,
Merci de ta réponse 😊

Posté par
Camélia Correcteur
re : Définition d'un sous-groupe 09-07-25 à 17:09

Posté par
GBZM
re : Définition d'un sous-groupe 10-07-25 à 10:06

Bonjour,

Camélia @ 09-07-2025 à 16:12


Exemple: Les matrices de la forme \begin{pmatrix} a & 0\\ 0  & 0 \\\end{pmatrix}, partie de GL_2(\R).

Attention, ces matrices-là ne sont sûrement pas inversibles !
La définition 1 est problématique dans le sens que pour restreindre la lci à H, encore faut-il que H soit stable par la lci.  
Supposons H non vide, stable par la lci et que la lci induise sur H une structure de groupe. Alors H est effectivement un sous-groupe de G.
Soit e le neutre de H. Alors e^2=e et en composant avec l'inverse de e dans G on voit que e est le neutre de G. Je te laisse faire pour l'inverse dans H.

Posté par
MattZolotarev
re : Définition d'un sous-groupe 10-07-25 à 22:20

Dans la définition 1, dire que \cdot munit H d'une structure de groupe dit de facto que H est stable par \cdot, non ?

(G,\cdot ) est un groupe, d'inverse e_G, et dans lequel tout élément g est inversible dans G d'inverse g^{-1}.

(H,\cdot ) est un groupe, d'inverse e_H, et dans lequel tout élément h est inversible dans H d'inverse h^*.

Effectivement :
e_H^2=e_H, donc e_H^{-1}e_H^2=e_H^{-1}e_H. On en déduit que e_G\cdot e_H=e_G, puis que e_H=e_G.

C'est ce qu'il me manquait, merci. Le fait qu'alors pour tout h\in H, h^*=h^{-1} est alors clair.

Posté par
GBZM
re : Définition d'un sous-groupe 11-07-25 à 14:19

MattZolotarev @ 10-07-2025 à 22:20

Dans la définition 1, dire que \cdot munit H d'une structure de groupe dit de facto que H est stable par \cdot, non ?

Il vaut mieux, à mon avis, commencer par dire que H est stable par la lci avant de parler de la lci induite sur H, de même qu'il vaut mieux dire qu'un sous-espace vectoriel est stable par un endomorphisme avant de parler de la restriction de cet endomorphisme au sous-espace.



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