Salut

Tout d'abord ce qui suit n'est qu'issus de souvenirs personnels. J'attends aussi une réponse de personnes plus expérimentées.

Je pense qu'il n'est pas utile de définir x₀ et A Si ce n'est que A est un ensemble muni d'une relation d'ordre et x₀ un point de cet ensemble.
Ensuite on ne parle pas du voisinage mais de l'ensemble des voisinages de x₀ que l'on peut définir de la manière suivante : V( x₀ ) est l'ensemble des ouverts inclus dans A contenant x₀.
En particulier si x ₀ A alors A V( x₀ )
Dans la pratique bien sûr on s'interesse à ce qu'il passe "près" du point et on peut traduire ça par une boule de faible rayon ou dans le cas réel, par un segment ouvert de longueur

Si (E,d) est un espace métrique on dit qu'une partie X de E est voisinage d'un élément a de E s'il existe r > 0 tel que la boule ouverte BO(a,r) = { x E | d(a,x) < r } soit contenue dans X .

Si A est une partie non vide de E et d_A la restiction de d à AA il est clair que (A,d_A) est un espace métrique .
Si a A on a : BO_A(a,r) = { x A | d(a,x) < r } = BO(a,r) A  (facile à prouver).
Une partie Y de A est donc voisinage de a dans A (càd pour d_A s'il existe r > 0 tel que BO(a,r) A Y.

Axel24 : Il n'est pas question d'ordre dans ces notions .