Bonjour
application d'un ensemble A vers un ensemble B : tout élément a de A possède une image et une seule dans B (plus restrictif que fonction : au plus une image)

en gros, on te demande de vérifier que l'ensemble de définition de ta fonction coïncide avec son ensemble de départ

Une application (d'en ensemble E vers un ensemble F) est une relation qui à tout élément x de E fait correspondre un élément unique y dans F. Si certains x de E n'ont pas d'image y dans F, on parle alors parfois de fonction et non pas d'application : dans ce cas le domaine de définition de la fonction est le sous ensemble de E formé des x qui ont réellement une image.

Une application est dite linéaire lorsque les ensembles E et F sont dotés d'opérations et lorsque l'application vérifie certaine(s) propriété(s)...

ok lafol , alors si j'ai cette question :

Montrer que l'on définit une application de Rn[x] dans R3[x] en associant à tout polynome P de Rn[x] le reste de sa division euclidienne par le polynome X^4 + 3X³ + 2X² + X + 1. Notons L cette application .

Je répondrai cela à cette question :

Nous avons un ensemble de départ Rn[x] , un ensemble d'arrivée R3[x] .
Un élément de l'ensemble de départ s'écrit a0X^n + a1X^(n-1) + ...ajX^0 .
Son image dans l'ensemble d'arrivée, d'après le théorème de la division euclidienne des polynomes ( f = gQ + R ) c'est :

(X^4 + 3X³ + 2X² + X + 1)Q + R , avec Q un polynome et R un polynome de degré inférieur à 4 .

Donc L est une application .

Etes vous d'accord lafol ?

Pas tout à fait : L'image de P est R, mais c'est bien une application puisque l'algorithme de la division euclidienne assure à la fois l'existence et l'unicité du reste et son appartenance à IR^3[X]

Je ne vous comprends pas entièrement , vous dites que l'image de P c'est R alors que le théorème dit que f = gQ + R  , vous ne voulez pas dire quand meme que Q peut etre nul ou alors  je n'ai pas compris ce que vous voulez dire avec "l'unicité du reste" .

A mes yeux l'image c'est clairement Q + R , mais vous dites que c'est R uniquement , je ne vous comprends pas meme si vous avez raison très probablement , pouvez vous m'expliquer svp ?

merci