Non, continue suffit.

En encore, continue n'est même pas vraiment indispensable. Continue par morceaux, avec des points de discontinuité de première espèce (avec une limite à gauche et une limite à droite) devrait suffire.

Bonjour,

c'est tout le problème des manuels de Terminale qui, sous prétexte de simplicité, éludent des notions essentielles à l'intuition(sans parler de la rigueur)...

En fait, toute fonction dérivable sur un intervalle ouvert y est continue et toute fonction continue sur un intervalle compact [a;b] y admet des primitives.
Une fonction continue en gros, c'est une fonction qu'on peut tracer sans avoir à lever le crayon (même si on peut trouver des exemples pathologiques).
Si tu en dessines une qui soit de plus positive sur [a;b], le rapport heuristique avec les aires est le suivant: "comme" f est continue, on peut "remplir" l'espace sous la courbe (les points M(x;y) tels que axb et 0yf(x) )par des rectangles dont l'aire va se rapprocher de l'aire sous la courbe.Après ça, il n'est pas trop difficile(en maths sup) de démontrer que la fonction qui à t associe l'aire en question, mais prise pour x entre a et t, est dérivable (si f est continue), de dérivée f.

Mais, pour être complet, il y a même des fonctions discontinues(comme les fonctions en escalier ou les fct monotones) qui ont des primitives; il ne faut donc pas penser que si une fonction F(je note comme ça pour faire le lien avec la phrase précédente) est dérivable, sa dérivée F'=f est forcément continue .
Bonne journée!

Oui LeHibou, cela suffit en effet.En fait pour être précis les applications intégrables sur un intervalle compact sont les applications bornées sur ce compact et dont l'ensemble des; points de discontinuité est négligeable (càd que pour tout > 0 il existe une suite En d'intervalles compacts contenant tous les points de discontinuité de f, et dont la somme(éventuellement infinie) des longueurs est inférieure à.

Les fonctions intégrables ne coïncident pas tout à fait avec celles qui admettent une primitive.En fait une condition nécessaire pour qu'une fct admette une primitive sur un intervalle est qu'elle vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.

N'y a -t-il pas un quiproquo dans la question de raoul79

"soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsque f est la dérivée de F sur I"

Cette phrase dit que F est une primitive dans I de f si F' = f. (avec f et F ddéfinies dans I).

Il n'y est nulle part question de la dérivée de f (soit f ').

Alors pourquoi, à la suite de cette définition, poser la question suivante:
je voudrais savoir pourquoi il faut que f soit dérivable... autrement dit, une fonction doit elle être dérivable pour être "primitivable"?

Il n'a jamais été question de cela dans la définition du début de la question.
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Rectificatif de mon premier post : dans le dernier paragraphe il fallait lire "intégrables" au lieu de "qui ont des primitives", désolé

Tigweg a eu raison de préciser que intégrable et primitivable ne sont pas équivalents. Le résultat qu'on utilise en fait au lycée, c'est que si f est intégrable sur [a,b] alors l'apllication x -> \int f(x) entre a et x est une primitive de f sur [a,b]. Mais les définitions de l'intégrabilité et des primitives sont totalement indépendantes.

Après ça, il n'est pas trop difficile(en maths sup) de démontrer que la fonction qui à t associe l'aire en question, mais prise pour x entre a et t, est dérivable (si f est continue), de dérivée f.

Pas juste en mathsup. Dans n'importe quel cours de maths post bac qui a de l'allure, ca se fait.

Sinon tu dis:
Mais, pour être complet, il y a même des fonctions discontinues(comme les fonctions en escalier ou les fct monotones) qui ont des primitiveset ensuite
En fait une condition nécessaire pour qu'une fct admette une primitive sur un intervalle est qu'elle vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
Je pense que c'est ici qu'il faut lire intégrable plutôt que "qui ont des primitives" sinon ca ne marche pas.
Mais encore là je suis sceptique, prend f définie sur R par
f(x)=0 si x<1 ou si x est dans Q
f(x)=1/x^2 sinon
cette fonction est intègrable et ne vérifie pas le tvi, si?
Ou alors j'ai mal compris.
A+

Tigweg a eu raison de préciser que intégrable et primitivable ne sont pas équivalents. Le résultat qu'on utilise en fait au lycée, c'est que si f est intégrable sur [a,b] alors l'apllication x -> \int f(x) entre a et x est une primitive de f sur [a,b].
Ca je ne sais pas d'où ca sort, mais c'est faux.
Au lycée, on utilise le fait qu'une fonction continue sur un connexe d'intérieur non vide (ie un truc de la forme [a,b] a<b, éventuellement une ou les bornes exclues), alors f possède une primitive sur cet intervalle.
On peut trouver un millier d'exemple de fonctions intégrable sur [a,b] et n'ayant pas de primitive sur [a,b]. A commencer par la classique fonction de Thomae, pour rester dans l'intégrale de Riemann, ou plus simplement la fonction de Dirichlet pour l'intégrale de Lebesgue.

Je me demande si tout cela aide bien raoul29 ou bien le perd complètement.

J'ai toujours l'impression qu'il y a un quiproquo dans sa question, comme je l'ai dit précédemment.

Bein pour la question de Raoul, la réponse est clairement non. C'est une condition suffisante, mais non nécessaire.
A+

Une définition plus habituelle est :
"soit f une fonction continue sur un intervalle I ouvert. Une fonction F définie et dérivable sur I est une primitive de f sur I lorsque f est la dérivée de F sur I"

Juste pour pinailler, on a pas vraiment besoin du fait que I soit un intervalle. Une union d'intervalles ouverts fait l'affaire.

Pourquoi continue Nicolas_75 ? Pas besoin dans la définition. Le fait qu'une fonction continue admet une primitive est un résultat que je trouve noyé dans ta définition.

Qu'est-ce que la fonction de Thomae otto ? Je n'ai trouvé qu'une fonction de 2 variables sur le ouebbe attribuée à un certain Thomae.

Merci d'avoir relevé, stokastik.

Nouvelle proposition, niveau Terminale :

Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert. Une fonction F définie et dérivable sur I est une primitive de f sur I si f est la dérivée de F sur I.
Propriété : si f est continue, alors une telle fonction F existe.

Nicolas

Question subsidiaire.

La fonction f(x) = x définie dans l'intervalle [1] ou peut être dans ]1[ ?

admet-elle des primitives ?

C'est pour rire.

Quoique ...

La fonction de Thomae est définie sur [0,1] par
f(0)=1
f(p/q)=1/q si p et q sont copremiers
f(x)=0 si x est irrationnel.

Elle a la belle propriété d'être (Riemann) intégrable sur [0,1], et en fait même continue en tout point irrationnel, discontinue en tout point rationnel.
Sauf erreur(s)
A+

ps: f(1)=1

DEs nombres copremiers sont des nombres premiers entre eux ?

Ces propriétés ne sont pas évidentes si ?

Copremiers = premiers entre eux oui.
La propriété d'intégrabilité est assez évidente, celle de la continuité l'est un peu moins, mais pas tant que ca.
Evidemment, c'est moins trivial qu'une fonction "classique" qui s'exprimerait à l'aide des fonctions usuelles.

Rebonjour,

je vois que les discussions ont été vives sur le sujet!
en fait Otto pour te répondre, c'est bien dans le paragraphe que tu as relevé qu'il fallait remplacer "primitivable" par "intégrable", désolé pour la confusion.

Ce qui est plus drôle, c'est que ta deuxième remarque montre que j'ai réussi à t'embrouiller puisque tu fais cette confusion à ton tour !
en fait la fct dont tu parles est effectivement Riemann-integrable sur tout compact et ne vérifie PAS le TVI, mais ce que je disais était que pour qu'une fct soit primitivable il FAUT qu'elle verifie le TVI.Ta fct n'admet donc pas de primitives. A +

Oui, ca je sais qu'il faut qu'elle respecte le TVI (théorème de Darboux), mais dans ce cas alors tu te contredit une 2e fois:
Tu veux dire primitivable ou intégrable?
Si c'est primitivable, alors tu disais qu'une fonction en escalier l'était ce qui est donc faux.
Si c'était intégrable, alors tu disais faire un correctif, mais tu ne le fais pas.
Bref, ce n'est pas très clair, mais ce n'est pas très grave non plus, je pense que chacun à compris l'essence des messages.
A+

Mais bon sang de bois,otto, j'avais ecrit par ERREUR que c'etait pour les fct integrables, ce que j'ai corrigé dans mon troisième post!
Ce n'est vrai que pour les fct primitivables...

Je voulais juste dire que je m'étais perdu dans les correctifs que tu avais fait.
Tout ca pour dire que finalement ca n'avait pas d'importance

lol ok dans ce cas

Je ne vois pas comment prouver que cette fonction est Riemann-intégrable

On l'approche par une suite de fonctions en escaliers, en découpant [0,1] en 2ⁿ intervalles, et en bricolant un peu on arrive à le démontrer c'est ça ?

Salut,

non c'est inutile: ta fonction estb manifestement bornée sur tout compact.
De plus l'ensemble de ses points de discontinuité est Q+ privé de [0;1] , qui est dénombrable et donc négligeable (voir un de mes posts precédents)

Bonne soirée!

Salut,
non il y'a plus simple, ca fonctionne pour la continuité et l'intégrabilité:
fixe toi un epsilon >0.
Combien a t'on de points au dessus de la courbe y=epsilon?

Sinon il y'a la manière sans finesse:
On est sur un compact, donc f est Riemann intégrable ssi ses points de discontinuité sont en nombre au plus dénombrable. C'est clairement le cas, car c'est au plus Q (en fait c'est exactement Q, mais à la limite on s'en fou)
A+

note: le "non il y'a plus simple" s'adressait à stokastik, ma 2e méthode étant essentiellement la même que celle de tigweg.

Oui oui jue sais otto, je suis un peu brut de décoffrage, à ma manière

Ce n'est pas évident que les points de discontinuité appartiennent à Q !

Ce n'est pas évident (bien que pas trop difficile non plus), mais c'est évident qu'ils soient au plus dans Q.

Pardon, je voulais dire que ce n'était pas nécessairement évident qu'ils soient tous des points de discontinuité (bien qu'avec ma méthode du epsilon ca l'est), mais c'est évident qu'un irrationnel ne soit pas un point de discontinuité, je pense. En tout cas c'est pas impossible.

Ok je vois avec le epsilon, merci

Non je ne crois pas que c'est évident que les irrationnels soient des points de discontinuité. C'est évidzent une fois qu'on a compris le truc avec le epsilon.

Euh oui, finalement cette fonction semble partout discontinue en tout point de [1;+infini[...Mince alors

Bonsoir à tous

Je me permet de m'incruster dans cette discussion qui me paraît très intéressante.
Stokastik> j'ai peut-être une idée pour montrer que la fonction définie plus haut est continue en tout point irrationnel. Je propose de passer par la continuité séquentielle.
On considère x un irrationnel de [0,1] et une suite de réels qui converge vers x.
Il suffit de se limiter au cas où cette suite est composée de rationnels (étant donnée la définition de f).
On considère donc une suite de rationnels (les fractions étant supposées irréductibles) qui converge vers x. Ensuite, je pense qu'il est bien connu que, comme x est irrationnel, alors les suites et tendent vers l'infini (dans le cas contraire, on peut extraire une sous-suite bornée, donc une sous-suite convergente d'après Bolzano-Weierstrass c'est-à-dire une sous-suite stationnaire ce qui contredit l'irrationnalité de x).
Par suite,pour tout n et en passant à la limite, on obtient la continuité en x. Bien sûr, il y a peut-être plus simple.

Kaiser

Non c'est quasi immédiat regarde:

Pour t'approcher d'un irrationnel tu as 2 possibilités (en fait 3, mais c'est pas important)
soit tu t'approches de lui par une suite d'irrationnels
soit par une suite de rationnels.
(la 3e étant un mélange des 2, mais c'est un cas "batard" qui se traite trivialement une fois que les 2 du dessus sont faits)

Si tu t'approches par une suite d'irrationnels c'est trivial (puisque f(irrationnel)=0)
Sinon t'as pas trop le choix que ta suite de rationnel converge vers 0, vu que au dessus de y=epsilon, il n'y a qu'un nombre fini de points.
Capisci?

La Riemann intégrabilité se traite évidemment de manière similaire, il suffit de prendre deux fonctions CM qui bornent supérieurement et inférieurement f, sauf éventuellement sur des ensembles d'intérieur vide.
Ici, tu prends phi+=epsilon (cf ma remarque précédente, il n'y a qu'un nombre fini de points au dessus de y=epsilon, donc ca marche)
et pour phi- tu prends 0.
L'intégrale de phi+ est (1-0)*epsilon=epsilon
L'intégrale de psi-=0
Finalement le raisonnement est indépendant du epsilon. Donc l'intégrale sup est plus petite que tout epsilon>0 et l'intégrale inf est 0. CQFD
En espérant que tu aies pigé.
A+

Donc elle n'est pas intégrable?!

Bon je dois etre fatigué...Je relirai tout ça deemain.Bonne nuit à tous!

Tigweg, attention, ici on se limite au compact [0,1], donc pas de problèmes.
Sinon cette fonction est l'exemple typique lorsque l'on veut être un peu sadique dans un examen ou faire travailler des étudiants sur un devoir plus ardu. Je me rappelle que de mon temps, sur 300 étudiants, il devait y avoir à peu près une trentaine qui l'avait eu juste...
C'est également un bon cas "pathologique" de fonctions Riemann intégrable et qui possède un ensemble assez "gros" de points de discontinuités. (evidemment il ne peut pas être plus gros...)
A+

En fait on étudie quelle fonction, là??
Celle-ci:

f(x)=0 si x<1 ou si x est dans Q
f(x)=1/x^2 sinon

Ou celle de thomae?!
Car moi je parlais de la premiere dans tous mes posts, je crains qu'il y ait eu quiproquo! Mais cela dit, f me semble bel et bien discontinue en tout point de [1;+infini[, et donc integrable sur aucun compact de [1;+infini[, sauf erreur bien sur!

Aie, effectivement il y'a un qui pro quo.
Pour la fonction dont tu parles, je ne sais pas s'il est question de Riemann intégrabilité, mais je parlais en fait de Lebesgue intégrabilité
Aie, il faut que l'on clarifie les choses là

Lol moi je parlais de Riemann integrabilité! Et, pincez-moi si je me trompe, mais f est bien discontinue en tout point de ]1;+infini[, non?!

Le post initial concernait l'existence de primitives vs l'intégrabilité, mais la CNS d'integrabilité que j'ai donnée ne concerne que la Riemann-integrabilité!

Pour l'autre fonction, c'est en effet un classique du genre

J'espère que Stokastik n'a pas compris la même chose que toi, sinon je lui explique quelque chose de faux depuis le début
Je viens également de comprendre pourquoi tes CNS ne marchaient pas
Effectivement je jonglais entre les deux notions d'intégrabilité, mais je pensais les avoir précisées dans chaque cas

Mort de rire...C'est bien ça le problème de la communication par internet!
Encore bonne nuit, j'y vais vraiment cette fois!

merci de votre aide, mais j'ai maintenant d'autres questions concernant la definition donnée par nicolas75 :

"Nouvelle proposition, niveau Terminale :

Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert. Une fonction F définie et dérivable sur I est une primitive de f sur I si f est la dérivée de F sur I.
Propriété : si f est continue, alors une telle fonction F existe."

alors, d'abord, pourquoi un intervalle ouvert?
ensuite, comment démontrer la propriété?