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définition de la fonction limite

Posté par
HighSchool2005 09-04-07 à 12:52

Bonjour,


Soit f_n(x) une suite de fonctions. On définit f_0(x) = 4sin(5x), f_1(x) = 16sin(25x)...
Donner la fonction limite mais je ne sais pas ce que c'est.
Est-ce F(x) = lim_{n \rightarrow + \infty}{f_n(x)} avec f_n(x) = 4^n sin(5^n x) ?

Posté par
suistropre : définition de la fonction limite 09-04-07 à 12:59

Je crois que c est bien ce que tu penses.

Posté par
Camélia Correcteurre : définition de la fonction limite 09-04-07 à 17:42

Bonjour
En fait c'est f_n(x)=4^{n+1}\sin(5^{n+1}x)
ce qui ne change rien à une éventuelle limite et ta définition est exacte. En revanche la description de F ne me parait pas trop évidente...

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 09-04-07 à 18:36

oui en fait, j'ai décalé car f_o(x) = sin(x) dans l'énoncé.
Je n'étais pas chez moi mais en fait l'intitulé exact de l'énoncé avec les bonnes valeurs est:
f_0(x) = sin(x) \\ f_1(x) = 1/2 sin(5 x) \\ f_2(x) = 1/4 sin(25 x) \\ ...etc \\ f_n(x) = 1/2^n sin(5^n x)
L'énoncé original est ici si ça vous intéresse, c'est sur la fonction de Weierstass (si ça gène les modérateurs, je peux faire un copier coller mais vu la longueur de l'énoncé, je pense que c'est mieux de le laisser en pdf):
http://matexo.smai.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/pdf_imprimable/applications-continues-non-derivables.pdf
En effet, F ne me paraît pas une évidence. J'ai cherché la définition de fonction limite sur tous les sites classiques et rien. C'est on dirait un terme un peu utilisé à tors et à travers...
Je dois essayer de prouver que F n'est pas dérivable avec la méthode classique et remarquer qu'il y a un problème avec cette méthode sans continuer la preuve.
j'ai donc fait :
\lim_{x \rightarrow a}{\frac{\lim_{n \rightarrow + \infty}{(1/2^n [sin(5^n x) - sin(5^n a)])}}{x-a}} et \lim_{n \rightarrow + \infty}{sin(5^n x) - sin(5^n a)} est indéfinie je crois.
Mais, je dois prouver que F est continue (ok).

Posté par
Fractalre : définition de la fonction limite 09-04-07 à 19:00

Bonjour, si F est définie par une limite, c'est bien parce qu'elle ne peut pas se définir autrement. Avec les fonctions usuelles, on ne pourrait pas faire de fonction continue mais nulle part dérivable.
La définition de F est donc, à mon avis, simplement 3$F(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}f_n(x).

La preuve de la continuité et tout le reste devra se faire avec cette définition.

Fractal

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 09-04-07 à 19:21

oui je ne pense pas non plus qu'on puisse définir F autrement qu'avec une limite mais je trouve ça un peu inhabituel d'utiliser la définition de la dérivée et de la continuité avec une limite, surement par manque d'habitude. Mais ça fonctionne bien, sauf dans le cas de mon message précédent

Posté par
Fractalre : définition de la fonction limite 09-04-07 à 19:26

En fait, je viens de regarder en détail ton lien, et ce qu'ils nous disent c'est que F est définie comme la somme des fn.
On a donc plutôt 3$F(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\Bigsum_{k=0}^n f_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{+\infty} f_n(x)

Fractal

Posté par
Fractalre : définition de la fonction limite 09-04-07 à 19:28

Zut, c'est 3$f_k(x) qu'il faut lire après les signes somme.
Et il vaut mieux à mon avis aussi justifier pourquoi cette somme infinie existe.

Fractal

Posté par
Camélia Correcteurre : définition de la fonction limite 10-04-07 à 16:35

Bonjour
S'il s'agit de la somme de la série, c'est une autre histoire. Comme
|fn(x)|1/4n
la série est normalement convergente et comme les fn sont continues la somme F est continue (il y a un théorème pour ça).

La série des dérivées n'est pas convergente en tout point, mais ça ne suffit pas pour montrer que la somme n'est pas dérivable.

Je n'ai pas réussi à charger ton énoncé; ne peux-tu pas mettre juste les indications pour montrer que F n'est pas dérivable? en particulier, en quels points?

Posté par
Fractalre : définition de la fonction limite 10-04-07 à 17:07

Bonjour Camélia
Dans l'énoncé, ils introduisent la fonction de Weierstrass car c'est l'exemple historique, mais ils précisent ensuite :

Citation :
En fait, la fonction F n'est pas dérivable, mais c'est assez difficile è montrer. On va plutôt examiner une variante de cette première construction, pour laquelle la preuve sera plus facile.


Fractal

Posté par
Camélia Correcteurre : définition de la fonction limite 10-04-07 à 17:12

Bonjour Fractal
OK on verra la suite...

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 11-04-07 à 10:57

Oui en fait, ca doit être ce que tu proposes Fractal sinon l'exercice n'a aucun intérêt !
Pour accéder au lien, il suffit de le copier dans un moteur de recherche et il trouve tout de suite la page.

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 11-04-07 à 11:00

en fait, je n'ai pas besoin de montrer que F n'est pas dérivable (je crois que je n'en serais pas capable...) mais je dois juste essayer de montrer qu'elle est dérivable avec la méthode classique et remarquer qu'on ne peut rien déduire.

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 11-04-07 à 11:14

Merci Camélia, je précise juste pour les éventuels lecteurs qui reliraient ce sujet dans l'avenir que f_n est majoré par \frac{1}{4^n} (message de Camélia) d'après mon premier énoncé mais dans le lien du message 18:36, f_n est définie différemment et est en fait majoré par \frac{1}{2^n}. Au final, c'est le même raisonnement.

Pour montrer que f_n est continue, dac Camélia, je connais ce théorème. Ici, les f_n vont bien de R (espace métrique lorsqu'il est muni de la distance usuelle) à C qui est un espace de Banach. (sinon, les conditions d'application du théorème ne sont pas remplies). Je cherche juste à être précise

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 11-04-07 à 11:50

Pour tenter de montrer que F est dérivable :
F est dérivable en tout point de R ssi pour tout a \in R,
\lim_{x \rightarrow a}{\frac{F(x)-F(a)}{x-a}} est finie,
or :
\lim_{x \rightarrow a}{\frac{F(x)-F(a)}{x-a}} = \\ \lim_{x \rightarrow a}{\frac{\sum_{k=0}^{+ \infty}{\frac{1}{2^n} (sin(5^k x) - sin(5^k a))}}{x-a}}

et je crois qu'on ait bloqué...

Posté par
Camélia Correcteurre : définition de la fonction limite 11-04-07 à 15:13

Rebonjour

Ce que j'essayais de dire, c'est que puisque f'n(x)=(5/2)nsin(5nx) la série des dérivées n'est certainement pas normalement convergente, donc le théorème ne s'applique pas. J'insiste sur le fait que ceci n'exclut pas une éventuelle dérivabilité de F.

Posté par
HighSchool2005re : définition de la fonction limite 11-04-07 à 17:53

Camélia, en fait, la série des dérivées doit être normalement convergente pour qu'on puisse appliquer le théorème des accroissements à F ? Je ne savais pas.
Pourrais-tu juste un petit peu développer la relation entre être normalement convergente et la dérivabilité de F ?

Posté par
Camélia Correcteurre : définition de la fonction limite 12-04-07 à 14:22

Bonjour

En réalité, il n'y a pas de vrai théorème de dérivabilité (ce sont plutôt des théorèmes de primitives). Pour les séries le plus utile est:

Soit fn une série de fonctions dérivables sur un intervalle borné I. Si la série des dérivées converge normalement (ou même seulement uniformément) sur I et s'il existe a dans I tel que la série numérique fn(a) converge, alors la série de fonctions initiale converge sur I, sa somme F est dérivable et on a
\Large F^'= \sum_{n=0}^\inftyf'_n

Posté par
Camélia Correcteurre : définition de la fonction limite 12-04-07 à 14:23

Erreur LATEX

\large F^'=\sum_{n=0}^\infty f'_n


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