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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Définition du pgcd
Posté par mousse42
Bonjour
Dans mon cours, on définit le PGCD comme suit :
Citation :
Définition
Soient
et 
deux sous-groupes de )
L'ensemble\in \Z^2\big\})
est un sous-groupe de , il est donc de la forme 
pour un unique 
. L'entier 
est le plus grand diviseur commun de 
et 
, et on note )
Définition
Soient
L'ensemble
Ce qui me chagrine, c'est que ça ressemble plus à un "Définition -théorème", plutôt qu'une définition seulement, ce qui nécessite une preuve. (et le cours n'en donne pas !!)
Voici une proposition, pouvez-vous y jeter un oeil :
Puisque
Il s'ensuit que
Ne soyez pas violent, je suis très faible en arithmétique et il fait très chaud
salut
ce n'est pas un théorème mais une définition constructive : elle dit comment obtenir le pgcd
maintenant si tu veux une définition suffisante :
le pgcd de deux entiers a et b est l'unique entier positif d tel que dZ = aZ + bZ
par contre que veux-tu faire avec ta proposition ?
Salut malou, ben oui, le soleil qui me brûle la tête de l'extérieur et l'arithmétique de l'intérieur
carpediem, oué tu parles de ta définition, dans ce cas je suis d'accord
Citation :
le pgcd de deux entiers a et b est l'unique entier positif d tel que dZ = aZ + bZ
le pgcd de deux entiers a et b est l'unique entier positif d tel que dZ = aZ + bZ
par contre il faut ensuite compléter par une proposition qui dit :
L'entier
Bonjour,
Le bon cadre pour introduire le concept de plus grand commun diviseur est celui d'anneaux, pas celui de groupes. Voici une définition :
Soit un anneau commutatif,
un entier non nul et
dans
. L'élément
de
est appelé un plus grand commun diviseur de
, si et seulement si
satisfait les deux conditions suivantes :
a) Pour tout , l'on a que
.
b) S'il existe dans
tel que
, quel que soit
, alors
.
Dans le cas où il existe, l'unicité d'un n'est pas toujours garantie. Cependant, dans un anneau intègre, deux
sont toujours associés puisqu'ils se divisent l'un l'autre. Par suite, dans un anneau intègre, l'on écrira
pour signifier que
est un plus grand commun diviseur de
et de
.
Propriété : Soit un anneau intègre, ainsi que
et
non nuls dans
. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. et
et il existe
et
dans
tels que
.
2. et il existe
et
dans
tels que
.
3.
mousse42 @ 24-07-2019 à 22:28
carpediem, oué tu parles de ta définition, dans ce cas je suis d'accord
par contre il faut ensuite compléter par une proposition qui dit :
L'entier)
est le plus grand diviseur commun de et dit autrement =\max\big\{n\in \N, n|a\land n|b\big\})
mais ça veut dire quoi l'acronyme pgcd ?carpediem, oué tu parles de ta définition, dans ce cas je suis d'accord
Citation :
le pgcd de deux entiers a et b est l'unique entier positif d tel que dZ = aZ + bZ
le pgcd de deux entiers a et b est l'unique entier positif d tel que dZ = aZ + bZ
par contre il faut ensuite compléter par une proposition qui dit :
L'entier
Carpediem 
our moi ça ne veut rien dire dans la définition que tu donnes excepté que pgcd(a,b) est l'entier d tel que aZ+bZ=dZ.
Si tu sous-entends que "pgcd = plus grand diviseur commun", on doit dans ce cas montrer que d est le plus grand diviseur commun. (donc il faut une preuve d'où l'appellation "Définition-Théorème" ou "Définition-Proposition"
ThierryPoma, merci je vais regarder cela, mais c'est un peu hors sujet pour l'instant, j'étudie les groupes et je fais un point sur l'arithmétique dans Z.
"plus grand" (ou "plus petit") doit être compris au sens de la (relation de) divisibilité sur (ici il s'agit de
), laquelle est une relation d'ordre partielle sur
. Ce faisant, la relation
n'a aucun sens.
ThierryPoma, je ne vois pas pourquoi tu utilises cette relation d'ordre.
a un sens pour la relation usuel
Je commence à réaliser que je n'ai pas vraiment compris 
Je rappelle la définition donnée au début du fil.
Citation :
Définition
Soient et deux sous-groupes de
L'ensemble est un sous-groupe de , il est donc de la forme pour un unique . L'entier est le plus grand diviseur commun de et , et on note
Définition
Soient
L'ensemble
Es-tu en train de dire que
Et donc la preuve serait de montrer que
Donc voici une preuve qui utilise la relation de divisibilté.
Puisque
Soit
on a
Ainsi on a montrer que
Et je définis (j'ai vu ça nulle part, mais bon on verra) le plus grand diviseur de a comme l'entier positif
Merci
Et je définis (j'ai vu ça nulle part, mais bon on verra) le plus grand diviseur commun de et
comme l'entier positif
qui vérifie :
et
Merci
ThierryPoma, je n'avais pas vu ton message.
Oui, ce que j'ai écrit correspond à la définition donnée dans ton msg de 10:51,
mousse42 @ 25-07-2019 à 12:55
ThierryPoma, merci je vais regarder cela, mais c'est un peu hors sujet pour l'instant, j'étudie les groupes et je fais un point sur l'arithmétique dans Z.
ThierryPoma, merci je vais regarder cela, mais c'est un peu hors sujet pour l'instant, j'étudie les groupes et je fais un point sur l'arithmétique dans Z.
attends juste le temps d'arriver aux anneaux (un bouquin d'algèbre parle du PGCD après avoir abordé les anneaux et non quand il parle des groupes)
comment il est fait ton bouquin à toi?
amethyste : C'est un cours, pas un bouquin. Il se trouve que pour travailler sur les groupes, il faut avoir quelques rudiments d'arithmétique d'où un chapitre portant dessus. Le cours sur les anneaux c'est pour bientôt et je ne veux pas me disperser
Je ne cherche pas la définition de pgcd, ma question portait sur la définition elle-même, c'est à dire est-ce une définition ou une définition-théorème (qui demande une preuve).
Mais ça va, je ne vais pas passer trop de temps dessus.
Merci