Bonjour

Un espace discret est un espace topologique A tel que tout point est isolé : pour tout a dans A, le singleton {a} est ouvert.

Un point d'accumulation de A est un point a de A adhérent à A-{a}, c.-à-d. un point non isolé de A.

Ton enseignant a bien raison : un espace discret est précisément un espace sans point d'accumulation.

D'où te venait ce soupçon ?

Merci GaBuZoMeu,

Je suis d'accord avec la définition.

Mais mon soupçon demeure toujours en fait,

Tu précises effectivement un point d'accumulation de A est un point adhérent a DE A adhérent à A-{a}.

Si on est dans un espace topologique inclut dans un autre espace topologique (muni de la topologie induite), les points d'accumulation de A ne sont pas forcément dans A.
Par exemple 1 est un point d'accumulation de [-1,1[ mais n'est pas dans [-1,1[.

En fait ce qui me fait douter c'est l'exemple de  l'ensemble suivant :
{1/n pour n1 et n}
Pour moi cet ensemble est bien discret avec la définition, mais admet bien 0 comme point d'accumulation.

Ce que j'en ai conclu moi, c'est qu'un ensemble A est discret si tous les points de A ne sont pas des points d'accumulation de A (équivalent à la définition avec les points isolés), mais A peut avoir des points d'accumulation qui ne sont pas dans A.


Je sais pas si c'est très clair, si tu es sûr je dois me tromper quelque part

Ton exemple est valable, mais il ne contredit pas le fait qu'un espace est discret si et seulement s'il ne possède aucun point d'accumulation. Ce qu'a dit ton enseignant est correct, s'agissant d'une caractérisation intrinsèque à l'ensemble lui-même, indépendamment d'un plongement dans un espace topologique plus gros.

D'accord merci beaucoup,

En fait c'était dans l'étude des fonctions analytiques donc on était plongé dans

Oui, l'ensemble des zéros d'une fonction analytique non identiquement nulle sur un ouvert connexe U est un exemple typique d'ensemble discret fermé dans U - ce qui ne l'empêche pas d'avoir des points d'accumulation à la frontière de U.

Voilà c'est ça,

En fait, c'est sur ce théorème (principe des zéros isolés ou pareil avec le principe de prolongement analytique) je bloquais parce que des fois le théorème était donné avec un ensemble sans point d'accumulation et des fois avec un ensemble discret. Donc j'étais un peu perdu, surtout avec la notion d'ensemble discret que je ne connaisais pas.

Du coup je pensais que le premier cas était plus fort mais en fait j'ai réussi à voir que c'était équivalent grâce à la continuité de la fonction.  

Merci

En fait je crois que dans ce cas présent justement, l'ensemble des zéros d'une fonction analytique non identiquement nulle sur un ouvert connexe U ne peut pas avoir de points d'accumulation même à la frontière ?

car si elle en admet un point d'accumulation à la frontière, par continuité de la fonction f, on a que ce point d'accumulation serait également un zéro de cette fonction f.

Je suis pas très sûr, mais est-ce bien le cas ?

Je suis en train de réfléchir profondément à ça.

En fait tu as précisé à la frontière de U.

Alors que le principe des zéros isolés est valable sur U ouvert (donc à l'intérieur de U).

Donc je disais des n'importe quoi.

GaBuZoMeu, si tu as un exemple de fonction analytique non identiquement nulle sur un ouvert connexe U de qui admet un point d'accumulation à la frontière de U, ça serait très sympa.
ça pourrait m'éclaircir sur ce phénomène.

On peut reprendre ton exemple, avec la fonction qui est analytique sur l'ouvert de . (Tu peux étendre à l'ouvert du plan complexe).

Oui j'ai justement travaillé ça hier, le sinus et le cosinus complexe.

On peut même l'étendre à l'ouvert ^*, je crois.

Du coup 0 ici est un point d'accumulation de l'ensemble des zéros de cette fonction, mais ça ne contredit absolument pas le pricipe des zéros isolés car 0^*

C'est bien ça ?

Merci, ça m'aide beaucoup

En plus, j'ai fait sin(1/z) hier, mais je suis passé à complètement à côté de cette subtilité qui à son importance