Bonjour.

Je te propose d'écrire :
|xy - 6| = |(x - 2)(y - 3) + 3(x - 2) + 2(y - 3)|

A plus RR.

et apres que dois-je faire

Tu sais - c'est du cours - que sur R^n toutes les normes sont équivalentes. Tu peux donc utiliser la norme ||B-A|| = max(|Bx-Ax|, |By-Ay|). A partir de là,  tu montre que {(x,y) tend vers (2,3)} entraîne {x tend vers 2} et {y tend vers 3}.
Tu écris alors par exemple que :
x.y-2.3 = x.y - x.3 + x.3 - 2.3
= x.(y - 3) + 3.(x - 2)
Et tu conclus. Evidemment tout ça est heuristique, maintenant il faut le faire proprement avec des et des ...

justement,mon probleme c'est les epsilon et autres

un peu plus d'indices svp

enfin je m'y connais pas mais à partir de ce que t'as donné raymond, tu passes directement à l'inégalité triangulaire, puis tu passes à la limite ? Non?

Regarde dans ton cours comment est démontrée proprement la continuité de la fonction x -> f(x) = x, quand tu auras assimilé ça tu feras le reste sans effort...

Tu sais que dans toutes les normes sont équivalentes.
Ici, tu peux prendre par exemple ||(X,Y)|| = Sup{|X|,|Y|}
Donc ||(x-2,y-3)|| = Sup{|x-2|,|y-3|}

Cela étant, tu as :
|xy - 6| = |(x - 2)(y - 3) + 3(x - 2) + 2(y - 3)| < |x-2|.|y-3| + 3.|x-2| + 2.|y-3|

Soit > 0 donné. Cherchons tel que :

||(x-2,y-3)|| < => |xy - 6| < .

Par définition : ||(x-2,y-3)|| < => |x-2| et |y-3| <

=> |x-2|.|y-3| + 3.|x-2| + 2.|y-3| < ² + 5

comme (x,y) tend vers (2,3), on peut supposer 0 < < 1. Alors, sous cette condition :
² < .
Donc ² + 5 < 6

Enfin, en prenant = /6, on arrive à la conclusion.

A plus RR.

ok je comprend maintenant merci
pouvez vous m'indiquer ou puis-je trouver la demonstration de la continuité de la fonction x -> f(x) = x

|f(x) - f(a)| = |x - a|, donc :
|x - a| < => |f(x) - f(a)|< .
On peut donc choisisr ici : =

Autre manière :
x -> x (ou plus généralement x -> k.x) est une application linéaire en dimension finie, donc forcément continue.

A plus RR.

merci beaucoup

connaitriez-vous des adresse ou je peux trouver des exercice d'entrainement pour les limite et la continuite des fonctions a deux variables

Une recherche sur internet devrait te donner un bon nombre de sites.
A plus RR.