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Définition série entière

Posté par
BastienVal 03-12-23 à 11:58

Bonjour,

Je me posais quelques questions quant à la définition d'une série entière. La définition de wikipedia indique que :

Une série entière de variable z est une série de terme général a_{n}z^{n}, où n est un entier naturel, et a_{n} est une suite de nombres réels ou complexes.

Ma question est la suivante : la variable z peut elle avoir une expression dépendant de n du type : z = 1+\frac{1}{n+2}.

Merci pour votre réponse.

Posté par
carpediemre : Définition série entière 03-12-23 à 12:44

salut

non !! z est une variable libre

mais si f(z) = \sum a_nz^n rien ne t'empèche de calculer f \left( 1 + \dfrac 1 {n + 2} \right) ... si tu en avais le besoin ...

Posté par
BastienValre : Définition série entière 03-12-23 à 12:54

Merci pour votre réponse !

Si désormais je veux etudier la convergence de la série \sum_{n>=0}^{}{U_n(1-\frac{1}{n+1})^n}

en sachant que \sum_{n>=0}^{}}{u_nz^n}
est une série entière de rayon de convergence R=1.

Je ne peux pas utiliser ce que l'on sait de \sum_{n>=0}^{}}{u_nz^n} si? Puisque la série à étudier n'est pas de même nature que la série sur laquelle nous avons des informations.

Posté par
carpediemre : Définition série entière 03-12-23 à 14:14

il ne faudrait pas changer de notations en cours de route

si u_n = 1 - \dfrac 1 {n + 1}

et que tu veux étudier la convergence de fu_n) = \sum a_n u_n^n alors il faut travailler finement

enfin on sait que \lim_{n \to + \infty} u_n^n = \dfrac 1 e = e^{-1} < 0,9 à partir d'un certain rang ...

il serait bien de nous donner l'énoncé exact de ton problème ...

Posté par
BastienValre : Définition série entière 03-12-23 à 14:39

Mon probleme est le suivant :

Soit R=1 le rayon de convergence de \sum_{n>=0}^{}{a_nu_n^n}.

Est-il correct de dire que  \sum_{n>=0}^{}{a_n(1-\frac{1}{n+1})^n} converge. Et que  \sum_{n>=0}^{}{a_n(1+\frac{1}{n+1})^n} diverge.

Je pense que la réponse à cette question dépend entièrement de U_n.

Posté par
carpediemre : Définition série entière 03-12-23 à 16:18

la première phrase ne veut rien dire ...

Posté par
BastienValre : Définition série entière 03-12-23 à 16:47

Soit \sum_{n>=0}^{}{a_nu_n^n}  une serie entiere de rayon de convergence 1. Cela devrait etre mieux comme cela.

Et petite erreur je voulais dire que la réponse depend de a_n selon moi*

Posté par
carpediemre : Définition série entière 03-12-23 à 18:52

\sum_{n>=0}^{}{a_nu_n^n} n'est pas une série entière ...

une série entière est une fonction f : z \mapsto \sum a_n z^n

que tu évalues en 2, ou en n'importe quelle valeur

mais dans la somme la valeur de z est la même partout !!! et ne varie pas en fonction du rang comme la suite u_n plus haut


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