Après une recherche sur internet, j'ai trouvé qu'une transformation du plan sur lui-même est une application bijective du plan sur lui-même.

Bonjour,

Une définition possible : une transformation affine du plan est une bijection du plan sur lui-même qui conserve les barycentres. Ce n'est pas la seule définition possible.

Une similitude est une transformation affine du plan.

Mais je me pose une question : ne suis-tu pas un cours où cette notion est définie ?

Non, ils ne définissent pas la notion de transformation affine dans mon livre de Maths.

Pas non plus d'application affine ?

Non plus.

J'ai un peu cherché sur internet, et je trouve qu'une application (ou transformation) affine est une bijection de la forme avec et . Les bijections qui à z associent ou ne le sont pas.

Hum ...
Il vaudrait mieux que tu aies un bon manuel. À aller à la pêche sur internet, on ramasse un peu n'importe quoi.

Je pense qu'une application est aussi une transformation affine.

Les transformations affines du plan ne se limitent pas aux similitudes, directes ou indirectes !
Pourquoi travailles-tu avec les affixes complexes ? Tu as une raison spéciale pour faire ça ?
Les transformation affines du plan (rapporté à un repère cartésien) sont celles de la forme



avec .

Pour quelle raison a-t-on ?

Parce que si , l'application du plan dans le plan n'est pas bijective : elle envoie tout le plan sur une droite ou sur un point.

Bonjour,
Je me permets de répondre en l'absence de GBZM :
ad -bc 0 est une condition nécessaire est suffisante pour que l'on soit en présence d'une bijection.

Bonjour GBZM,
Pas si absent que ça

Oui, si ad-bc=0, la fonction est constante(=b/d) donc non bijective.
Par contre je ne suis pas sûr qu'elle peut envoyer tout le plan sur une droite?

"La fonction". De quelle fonction parles-tu ? Réfléchis bien à ce que tu écris, pour vérifier que ça a un sens. Fais l'effort d'être explicite ; c'est bien un effort, mais cet effort paie !

Oui désolé, je parle de l'ensemble des fonctions qui à x associent mais je pense que ce n'est qu'un sous-ensemble de l'ensemble des fonctions affines, c'est l'ensemble des fonctions homographiques. Et en plus je travaille sur des réels x et y au lieu de parler de complexes.

Quel mélange ! Une fonction homographique n'est certainement pas affine en général.
Qu'est-ce que tu fabriques ?

Ok je me suis emporté.
Dans mon livre, ils prennent une similitude s directe de représentation complexe
Et on nous présente la propriété suivante:
Si , alors s est la translation de vecteur , image de dans le plan P.
Si , alors s possède un point unique et on peut écrire: où h est l'homothétie de centre et de rapport , et la rotation de centre et d'angle . Et ils disent que s est la similitude directe de centre , de rapport et d'angle . L'angle d'une similitude est, bien entendu, défini modulo .

Et en remarque, ils mettent : il résulte de cette propriété qu'une similitude est une transformation affine du plan.
Et moi je demande : Comment arrive-t-on à ce résultat?

Essayons de mettre l'expression sous cette forme:



avec .

On a , et z'=
d'où




et


et ²

donc si , on a bien une bijection et en plus elle se met sous la forme d'une fonction affine.

Ton calcul ne va pas du tout : sont des réels. Ton et ton sont complexes.

Fais un calcul correct en prenant les parties réelles et imaginaires de et .

Une remarque :
Il est évident qu'on a bien une bijection si est non nul :
On peut isoler z dans z' = z +

Ok en écrivant et ,
j'obtiens :

Pour avoir une bijection, il faut que , autrement dit que
et donc que
.

Bonjour, j'ai une question supplémentaire :
est-ce qu'une homothétie et une rotation sont des transformations affines du plan?

Bonjour
une homothétie n'est-elle pas une similitude ? idem pour une rotation ?

Les similitudes sont elles des transformations affines?

Bonsoir,
une autre façon de voir les transformations affines du plan.

Ce sont des bijections du plan dans lui-même qui conservent les propriétés affines.

Autrement dit :
(1) si trois points sont alignés leurs images sont alignées ;
(2) si deux droites sont parallèles leurs images sont parallèles ;
(3) elle conserve les barycentres.

On peut montrer que les conditions (1) et (2) sont équivalentes à la condition (3).

On donne souvent la condition (3) comme définition, sans doute parce que c'est plus rapide à écrire.
Mais, pour tes questions, il est plus rapide de vérifier (1) et (2).

@verdurin : la condition (1) suffit.

je voudrais pas dire, mais notre ami ne fait pas beaucoup d'effort !

j'avais déjà répondu à ces interrogations ici : Similitudes et f(A)=A, f(B)=B

et visiblement les liens de cours que je lui avais proposés n'ont pas vraiment été étudiés !

je sors

Et est-ce que la composée de deux transformations affines est une transformation affine?

Un petit Ps sur les géométries usuelles.

On a la géométrie euclidienne usuelle dans la quelle on mesure des distances et des angles ( éventuellement orientés ).

Si on abandonne la mesure des distances en conservant les angles on arrive à géométrie basée sur les similitudes ( on peut conserver l'orientation similitudes directes ou non) dans tous les cas on conserve le rapport des longueurs.

Si, de plus, on abandonne la mesure des angles on arrive à la géométrie affine.
Il ne reste plus que l'alignement, le parallélisme et le rapport des longueurs suivant une direction donnée ( Thalès ).

Je voudrais montrer que  .
On pourrait dire : si les points A,B et C sont alignés, il faut et il suffit que le point C appartienne à la droite (AB).
Donc que C soit le barycentre de A(a) et B(b).
On sait que la transformation affine conserve les barycentres, donc C' image de C est le barycentre de A'(a) et B'(b).

Je te conseille vivement d'oublier la dernière remarque de GBZM.
Elle est vraie, mais elle cache ce qu'est la géométrie affine.

Qui repose fondamentalement  sur deux notions, l'alignement et le parallélisme et sur un axiome supplémentaire : par un point donné il passe une parallèle et une seule à une droite donnée.

Et sur la possibilité de définir le rapport quand et A,B et C alignés.

Bon, avec la définition d'une similitude directe : z'=az+b,
j'ai réussi à démontrer (1), (2) et (3)

ce qui m'intéresserais, c'est de montrer (1) à partir de (2), puis (2) à partir de (3)

Bonsoir sgu35.
Si tu veux faire des démonstrations de ce genre il faut préciser les définitions.
Et j'ai la nette impression que tu ne sais pas ce qu'est un espace affine sur un corps .

J'ai essayé de te donner une idée générale, mais ça ne permet aucune démonstration du genre (1)(2).

As-tu remarqué que la formulation du (2) suppose déjà que l'image d'une droite est (contenue dans) une droite, autrement dit que (1) est vérifié ?

(1) entraîne (2) assez trivialement.
Déjà, (1) entraîne que l'image d'une droite est une droite :
Soit f(M) sur la droite (f(A)f(B)). On choisit f(C) et f(D) en dehors de (f(A)f(B)) tels que f(M), f(C) et f(D) ne sont pas alignés. Alors M, C, D ne sont pas alignés, donc une des droites (CM) ou (DM) n'est pas parallèle à (AB) et coupe (AB) en N, alors f(N)=f(M) et M=N appartient à (AB).
Ensuite si deux droites D et D' sont parallèles, f(D) et f(D') sont deux droites qui ne se coupent pas, donc parallèles (on est dans un plan affine).

Bonsoir GBZM.
J'essayais d'aider sgu35 à comprendre ce qu'est un espace  affine.
Ce que qu'aucun des intervenants précédent n'avait fait.

Et oui je connais la démonstration que tu donnes.

Parfois je me demande si le but de ce forum est d'aider les autres ou de montrer son égo.

sgu35 : Non, on veut montrer que M appartient à (AB), sous l'hypothèse que f(M) appartient à (f(A)f(B)). Tu ne peux pas utiliser que M appartient à (AB) au cours de la démonstration !

verdurin : aigreurs d'estomac ?
Depuis le début de ce fil j'essaie de faire comprendre à sgu35 ce qu'est une transformation affine du plan - pas de me lancer dans la théorie des espaces affines.

Effectivement j'ai des aigreurs d'estomac.
Mais

Citation :
Depuis le début de ce fil j'essaie de faire comprendre à sgu35 ce qu'est une transformation affine du plan

Mettons que (CM) n'est pas parallèle à (AB), et coupe (AB) en N. Alors f(N) appartient à (f(A)f(B)) et à (f(C)f(M)), qui sont sécantes en f(M). Donc f(N)=f(M).

et qu'est-ce qu'on a montré au fait?

Bonne question

Pour sgu et verdurin :

On a démontré qu'une bijection du plan affine sur lui même qui conserve l'alignement (si trois points sont alignés, leurs images sont alignées) envoie une droite du plan sur une droite du plan (l'image d'une droite n'est pas seulement contenue dans une droite, c'est une droite toute entière), et que si deux droites sont parallèles, leurs images sont des droites parallèles.

Autrement dit, la condition (2) de verdurin découle de la condition (1).

Euh ... sérieux, sgu ?
Tu ne sais pas que deux droites du plan qui ne sont pas sécantes (ne se coupent pas) sont parallèles ?
Tu as tout oublié de tes études secondaires ?

Deux droites d'équations
ax+by+e = 0   et cx+dy+f=0
avec a et b pas tous les deux nuls et b et c pas tous les deux nuls.
De deux choses l'une : ou bien ad-bc=0, et les deux droites sont parallèles, (ou confondues) ou bien ad-bc différent de 0 et alors les deux droites ont un unique point d'intersection.

Il est normal que tu hésites, sgu. Mais là, je trouve que tu pousses le bouchon un peu loin. Tu as appris des choses au cours de tes études, il faudrait penser à t'en servir.

désolé mais comment trouve-t-on que les droites f(D) et f(D') ne sont pas sécantes à partir de ce qu'on a montré :